[论文解读] Primitive root producing quadratics

Pieter Moree|ArXiv.org|Jun 2, 2004

Analytic Number Theory Research参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文研究了能生成素数的二次多项式，其中固定的整数 g 是其本原根，並將此與类数为一的问题及素数生成多项式联系起来。通过类域论和素数 k 元组猜想，证明了存在此类二次多项式，可生成任意长的连续素数序列，使得 g 是其本原根；并确立了 326 是形式为 326n² + 3 的前 206 个素数模下的本原根，Y. Gallot 后续将此记录扩展至 31,082 个素数。

ABSTRACT

D.H. Lehmer found a quadratic polynomial such that 326 is a primitive root for the first 206 primes represented by this polynomial. It is shown that this is related to the class number one problem and prime producing quadratics. An algorithm is described to find more impressive examples in the same spirit. Y. Gallot used it to establish the current record in which 206 is being replaced by 31082.

研究动机与目标

• 研究固定整数 g 为由二次多项式 f(n) 生成的多个连续素数模的本原根的现象。
• 将此行为与虚二次域的类数为一问题及素数生成多项式联系起来。
• 证明对于任意给定的 m，存在二次多项式 f 和整数 g，使得 g 是 f(n) 所表示的前 m 个素数（且不整除 g）模下的本原根。
• 形式化‘本原根生成’多项式的概念，并分析其理论极限。

提出的方法

• 使用 Bateman-Horn 和 Hardy-Littlewood 猜想来建模二次多项式所表示的素数的密度。
• 应用类域论和二次互反律来控制数域 Q(√g_i) 中素数的分裂行为。
• 利用素数 k 元组猜想，以确保算术级数中多个 f(n) 值的同步素性。
• 构造显式的二次多项式 f(n) = An² + C，使得当 f(n) 为素数时，g 是其模下的本原根，且对某个范围内所有 n 成立。
• 使用中国剩余定理和等分布假设来估计满足一组素数模下本原根条件的最小解的大小。
• 利用 L 函数（L(1,χ_D) 和 L(2,χ_D)）的结果，将狄利克雷 L 函数的解析行为与此类多项式的存在性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 固定整数 g 是否可以是某个由二次多项式 f(n) 生成的长序列连续素数模下的本原根？
• RQ2 g 和 f 的哪些数论条件可确保 g 是所有素数 f(n)（且不整除 g）模下的本原根？
• RQ3 此类序列的长度是否存在理论上的上限，还是可以任意长？
• RQ4 本原根生成多项式与虚二次域的类数为一问题有何关联？
• RQ5 素数 k 元组猜想在构造具有保证长序列本原根素数的此类多项式方面，可被使用到何种程度？

主要发现

• 本文证明了对于任意整数 m ≥ 1，存在二次多项式 f 和整数 g，使得 g 是 f(n) 所表示的前 m 个素数（且不整除 g）模下的本原根。
• 示例 f(n) = 326n² + 3 生成了 206 个连续素数，使得 326 是其模下的本原根，此结果与 Q(√−163) 的类数为一相关。
• Y. Gallot 使用类似原理和高级计算，将此记录扩展至 31,082 个连续素数。
• 此类多项式的存在性依赖于素数 k 元组猜想和广义黎曼猜想，但在这些假设下，其构造在理论上是成立的。
• 本文表明，此类多项式的密度由 L(2,χ_D) 的大小决定，类似于 L(1,χ_D) 决定素数生成行为。
• 已证明不存在二次多项式能生成无穷多个使得 g 为本原根的素数，即 c_g(f) < ∞，但可生成任意长的有限序列。