[论文解读] Primitive sets of nonnegative matrices and synchronizing automata

Balázs Gerencsér, Vladimir V. Gusev+1 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Feb 24, 2016

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文建立了非负矩阵的原始集合与同步自动机之间的深度等价关系，证明了 $n \times n$ 矩阵的最大指数的指数增长率为 $\frac{\log 3}{3}$，并利用矩阵理论工具解决了仔细同步自动机情形下的 Černý 猜想。此外，本文表明，对于不含零行/列的矩阵，计算其指数是 $FP^{NP[\log]}$-完全的，并为具有完全支持的矩阵提供了 $2n^2 - 5n + 5$ 的二次上界。

ABSTRACT

A set of nonnegative matrices $\mathcal{M}=\{M_1, M_2, \ldots, M_k\}$ is called primitive if there exist indices $i_1, i_2, \ldots, i_m$ such that $M_{i_1} M_{i_2} \ldots M_{i_m}$ is positive (i.e. has all its entries $>0$). The length of the shortest such product is called the exponent of $\mathcal{M}$. The concept of primitive sets of matrices comes up in a number of problems within control theory, non-homogeneous Markov chains, automata theory etc. Recently, connections between synchronizing automata and primitive sets of matrices were established. In the present paper, we significantly strengthen these links by providing equivalence results, both in terms of combinatorial characterization, and computational aspects. We study the maximal exponent among all primitive sets of $n imes n$ matrices, which we denote by $\exp(n)$. We prove that $\lim_{n ightarrow\infty} frac{\log \exp(n)}{n} = frac{\log 3}{3}$, and moreover, we establish that this bound leads to a resolution of the Černý problem for carefully synchronizing automata. We also study the set of matrices with no zero rows and columns, denoted by $\mathcal{NZ}$, due to its intriguing connections to the Černý conjecture and the recent generalization of Perron-Frobenius theory for this class. We characterize computational complexity of different problems related to the exponent of $\mathcal{NZ}$ matrix sets, and present a quadratic bound on the exponents of sets belonging to a special subclass. Namely, we show that the exponent of a set of matrices having total support is bounded by $2n^2 -5n +5$.

研究动机与目标

• 建立非负矩阵原始集合与同步自动机之间的正式等价关系，尤其在组合结构与计算复杂度方面。
• 确定所有 $n \times n$ 原始矩阵集合的最大指数 $\exp(n)$ 的渐近增长率。
• 利用矩阵理论工具，解决仔细同步自动机情形下的 Černý 猜想。
• 刻画 $\mathscr{NZ}$ 类矩阵（无零行或零列）的指数计算的计算复杂度。
• 推导具有完全支持的矩阵的指数的二次上界，并探讨其对 Černý 猜想的含义。

提出的方法

• 利用布尔半环框架，将矩阵乘法视为与运算的逻辑或，将矩阵积建模为状态转移序列。
• 利用矩阵积为正与自动机字为同步之间的等价性，特别是通过从自动机转移构造转移矩阵。
• 应用广义 Perron-Frobenius 理论于 $\mathscr{NZ}$ 中的矩阵集合，通过矩阵作用下不存在周期划分来刻画原始性。
• 通过从同步自动机问题（如重置阈值决策与近似）的约化，将矩阵指数问题映射到已知复杂度类。
• 利用 $NP[\log]$-查询在多项式有界指数值范围内进行二分查找，以确定精确指数，从而将计算置于 $FP^{NP[\log]}$ 类。
• 通过转移图的结构分析与路径存在性条件，推导出具有完全支持的矩阵的二次上界 $2n^2 - 5n + 5$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n \times n$ 原始矩阵集合，最大指数 $\exp(n)$ 的渐近增长率是多少？
• RQ2 能否利用矩阵理论方法解决仔细同步自动机情形下的 Černý 猜想？
• RQ3 判断 $\mathcal{M}$ 的指数是否不超过 $k$ 或恰好为 $k$ 的计算复杂度是多少？
• RQ4 是否存在具有完全支持的矩阵集合的指数的二次上界？其对 Černý 猜想有何含义？
• RQ5 矩阵集合的结构性质（如完全支持、不可约性）如何与存在短正积的性质相关联？

主要发现

• 确立了极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{\log \exp(n)}{n} = \frac{\log 3}{3}$，提供了最大指数的确切渐近增长率。
• 对于 $\mathscr{NZ}$ 中的三组 $n \times n$ 矩阵 $\mathcal{M}$，判断 $\exp(\mathcal{M}) \leq k$ 的问题是 $NP$-完全的。
• 判断 $\exp(\mathcal{M}) = k$ 的问题是 $DP$-完全的，而计算 $\exp(\mathcal{M})$ 是 $FP^{NP[\log]}$-完全的。
• 对于任意 $\varepsilon > 0$，将 $\exp(\mathcal{M})$ 近似到因子 $n^{1-\varepsilon}$ 的问题是 $NP$-难的，表明其具有强烈的不可近似性。
• 任意 $n \times n$ 具有完全支持的矩阵集合的指数至多为 $2n^2 - 5n + 5$，这是一个二次上界。
• 本文解决了仔细同步自动机情形下的 Černý 猜想，因为此处推导出的指数界与猜想中的 $n^2$ 阈值完全一致。