[论文解读] Primitive tensors and convergence of an iterative process for the eigenvalues of a primitive tensor

K. PEARSON|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2010

Tensor decomposition and applications参考文献 7被引用 15

一句话总结

本文提出了原始张量的概念，并证明了用于计算非负张量最大特征值的迭代算法的收敛性。通过定义原始性并建立其性质，作者证明该算法在原始张量上收敛，解决了先前工作中该方法（Ng、Qi 和 Zhou 提出）缺乏收敛性证明的空白。

ABSTRACT

An algorithm for finding the eigenvalue of a nonnegative irreducible tensor was recently proposed by Michael Ng, Liqun Qi, and Guanglu Zhou in {\it Finding the largest eigenvalue of a nonnegative tensor}. However, the authors did not prove the proposed algorithm converges. In this paper, primitive tensors are defined and the algorithm is shown to converge for primitive tensors.

研究动机与目标

• 定义并表征原始张量，作为原始矩阵向高阶张量的推广。
• 解决 Ng、Qi 和 Zhou 提出的用于非负不可约张量的迭代特征值算法缺乏收敛性证明的问题。
• 建立迭代算法收敛到张量最大特征值的条件。
• 通过引入原始性作为收敛的充分条件，扩展非负张量特征值的理论。

提出的方法

• 引入原始张量的定义，将非负矩阵中的概念推广到高阶张量。
• 将张量的原始度定义为最小的正整数 k，使得张量的 k 次幂为正。
• 利用非负张量的谱理论，将原始性与正特征对的存在性和唯一性联系起来。
• 通过幂方法框架分析迭代算法，证明在原始性条件下算法收敛。
• 通过利用原始性所隐含的正性和不可约性，证明算法收敛到最大特征值。
• 证明原始性可确保谱半径是具有正特征向量的单重正特征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有不可约张量，计算非负张量最大特征值的迭代算法是否都收敛，还是需要额外条件？
• RQ2 张量的何种结构特性可确保幂型迭代方法在特征值计算中的收敛性？
• RQ3 如何将矩阵中的原始性概念推广到高阶张量，以确保收敛？
• RQ4 是否存在一个张量的充分条件，可保证 Ng-Qi-Zhou 算法收敛到最大特征值？

主要发现

• 本文将原始张量定义为原始矩阵在高阶张量中的类比，其特征为存在某个正整数 k，使得张量的 k 次幂为正。
• 证明了对于原始张量，谱半径是具有正特征向量的单重正特征值。
• 用于计算最大特征值的迭代算法在原始张量上全局收敛。
• 收敛性由原始性条件保证，该条件确保了必要的正性和不可约性。
• 本文证明原始性是收敛的充分条件，填补了 Ng-Qi-Zhou 算法在理论上的空白。
• 结果将幂方法的收敛性理论扩展到在原始性条件下非负张量的特征值问题。