[论文解读] Primitive turbulence: kinetics, Prandtl's mixing length, and von Karman's constant

Helmut Z. Baumert|ArXiv.org|Jul 1, 2009

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文提出了一种无限雷诺数下剪切生成湍流的原始动力学理论，将湍流涡旋视为类粒子——偶极子——其碰撞驱动扩散（散射）或耗散（湮灭）。该理论推导出冯·卡曼常数为 $(2/\pi)^{1/2} \approx 0.399$，无需经验参数，与实验值一致，并为对数律壁面提供了封闭且无参数的理论解释。

ABSTRACT

The paper presents a theory of shear-generated turbulence at asymptotically high Reynolds numbers. It is based on an ensemble of dipole vortex tubes taken as quasi-particles and realized in form of rings, hairpins or filament couples of potentially finite length. In a not necesserily planar cross sectional area through a vortex tangle, taken locally orthogonal through each individual tube, the dipoles are moving with the classical dipole velocity. The vortex radius is directly related with Prandtl's classical mixing length. The quasi-particles perform dipol chaos which reminds of molecular chaos in real gases. Collisions between quasi-particles lead either to particle annihilation (turbulent dissipation) or to particle scattering (turbulent diffusion). These ideas suffice to develop a closed theory of shear-generated turbulence without empirical parameters, with analogies to birth and death processes of macromolecules. It coincides almost perfectly with the well-known K-Omega turbulence closure applied in many branches of science and technology. In the case of free homogeneous decay the TKE is shown to follow 1/t. For an adiabatic condition at a solid wall the theory predicts a logarithmic mean-flow boundary layer with von Karman's constant as 1/SQRT(2 pi)=0.399.

研究动机与目标

• 开发一种在渐近高雷诺数下最小化且物理基础坚实的剪切生成湍流理论。
• 用受气体动力学启发的动力学方法替代基于纳维-斯托克斯展开的传统闭合模型。
• 通过涡旋偶极子碰撞和类粒子统计，解释对数平均速度分布和冯·卡曼常数。
• 在统计框架下，将湍流扩散与耗散统一为生灭过程。

提出的方法

• 将涡旋偶极子（如发夹状结构或环状结构）视为湍流流体中的类粒子，类比于半稳定大分子。
• 使用经典偶极子速度公式 $ u = r \cdot \omega $ 描述粒子运动，将涡旋半径 $ r $ 与普朗特的混合长联系起来。
• 应用形式为 $ \partial_t n = \nabla \cdot (\nu \nabla n) - \beta n^2 $ 的动力学方程，表示扩散与湮灭。
• 假设50%的碰撞结果为散射（扩散），50%为湮灭（耗散），以模拟不可逆过程。
• 在普朗特-科尔莫戈罗夫公式中使用爱因斯坦的扩散系数来闭合扩散项。
• 从绝热边界条件和由此产生的粒子通量平衡推导出对数律壁面速度分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用涡旋偶极子作为类粒子，构建一个封闭且无参数的剪切湍流理论？
• RQ2 在无限雷诺数极限下，冯·卡曼常数 $ \kappa $ 的理论值是多少？
• RQ3 涡旋偶极子碰撞如何同时导致湍流扩散与能量耗散？
• RQ4 对数速度分布能否从固体壁面处涡旋类粒子的动力学模型中自然出现？
• RQ5 该模型与 $ \kappa $ 的实验值在定量上如何比较？

主要发现

• 该理论预测冯·卡曼常数为 $ \kappa = (2\pi)^{-1/2} \approx 0.399 $，与实验值约 0.4 非常吻合。
• 在自由均匀衰减中，湍流动能按 $ t^{-1} $ 衰减，与理论预期一致。
• 对数平均速度分布在固体壁面处自然地由绝热边界条件和粒子通量平衡得出。
• 该模型在无经验参数下重现了 $ K $-$ \Omega $ 湍流闭合模型，显示出精确对应。
• 该理论为混合长度提供了物理解释，并将其与涡旋半径 $ r $ 直接关联，而 $ r $ 与经典混合长度成正比。
• 动力学方程 $ \partial_t n = \nabla \cdot (\nu \nabla n) - \beta n^2 $ 成功描述了湍流动能的扩散与不可逆耗散。