[论文解读] Principal-agent problem with multiple principals

Kaitong Hu, Zhenjie Ren+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用 9

一句话总结

本文研究了一个连续时间道德风险模型，其中一名代理人同时面对多个委托人，代理人会随时间在委托人之间最优切换。通过后向SDE与随机化表述，作者推导出代理人价值函数与最优努力的表示，并在委托人数趋于无穷时建立向平均场博弈均衡的收敛性。

ABSTRACT

We consider a moral hazard problem with multiple principals in a continuous-time model. The agent can only work exclusively for one principal at a given time, so faces an optimal switching problem. Using a randomized formulation, we manage to represent the agent's value function and his optimal effort by an Itô process. This representation further helps to solve the principals' problem in case we have infinite number of principals in the sense of mean field game. Finally the mean field formulation is justified by an argument of propagation of chaos.

研究动机与目标

• 建立一个单一代理人每次仅能为一名委托人服务的道德风险设定，并解决其最优切换问题。
• 通过引入随机化表述与后向SDE技术，将经典委托人-代理人框架扩展至多委托人情形。
• 利用平均场博弈理论，在委托人数趋于无穷的极限下求解委托人的最优契约问题。
• 通过一种新颖的后向混沌传播论证，严格证明平均场近似的合理性。
• 将代理人的价值函数与最优努力表示为伊藤过程，从而获得可操作的动态表征。

提出的方法

• 采用随机化最优切换框架构建代理人问题，其中代理人随机选择委托人。
• 通过后向随机微分方程（BSDE）表示代理人的价值函数与最优努力，实现对最优契约的动态刻画。
• 利用代理人优化问题的对偶表示，将契约收益与努力水平关联至驱动项为 $ c^*(Z_t) $ 的BSDE解。
• 在委托人数趋于无穷的极限下引入平均场博弈表述，其中每位委托人面对一个具有共同运动规律的代表性代理人。
• 通过后向混沌传播论证，建立有限-$ n $ 委托人问题向平均场解的收敛性。
• 利用格朗沃尔不等式与大数定律，证明委托人类型的经验测度收敛至极限平均场分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将委托人-代理人问题扩展至存在多个委托人、且代理人每次仅能为一名委托人服务的情形？
• RQ2 能否通过后向SDE与随机化表述刻画代理人的最优切换行为？
• RQ3 当委托人数趋于无穷时，契约问题的极限行为是什么？
• RQ4 在此情境下，如何严格证明平均场博弈表述的合理性？
• RQ5 有限-$ n $ 委托人问题是否收敛至平均场解？在何种条件下收敛？

主要发现

• 通过后向SDE，代理人价值函数与最优努力被表示为伊藤过程，从而实现对最优契约的动态刻画。
• 最优努力 $ \alpha^*_t $ 由 $ \arg\max_a \{ aZ_t - c(a) \} $ 给出，其中 $ Z_t $ 为BSDE解的鞅部分。
• 当 $ n \to \infty $ 时，有限-$ n $ 委托人问题收敛至平均场博弈均衡，收敛速率受 $ \mathbb{E}[d^2_0(p^n, p^*)] \leq C(\mathbb{E}[d^2_0(\nu^n, p^*)] + n^{-2}) $ 控制。
• 建立了后向混沌传播，表明委托人类型的经验测度收敛至极限平均场分布。
• 有限-$ n $ 情形下每位委托人的价值函数收敛至平均场博弈价值，其极限为 $ \mathbb{E}\left[\int_0^T \beta^*_u(\alpha^*_u W^i_u - U(\theta^i_u) + 1)du + \beta^*_T(W^i_T - U(Y^{*,i}_T))\right] $。
• 在效用函数与成本函数有界且满足利普希茨连续性假设下，证明了收敛性，确保了平均场极限的稳定性。