[论文解读] Principal basis in Cartan subalgebra

Rudolf P. Rohr|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用 9

一句话总结

本文提出了一种方法，通过在 Weyl 向量的对偶处计算不变多项式梯度，构造单个复李代数的 Cartan 子代数的主基。通过对这些梯度应用 Gram-Schmidt 正交化，得到主基；当在 Weyl 向量处求值时，相同构造可导出 Langlands 对偶李代数的主基。该方法在 $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ 且 $l$ 为偶数的情形下得到显式验证，其中通过图自同构的精化确保了唯一性。

ABSTRACT

Let $\Lie{g}$ be a simple complex Lie algebra and $\Lie{h}$ a Cartan subalgebra. In this article we explain how to obtain the principal basis of $\Lie{h}$ starting form a set of generators $\{p_1,...,p_r\}$,$r= ank(\Lie{g})$, of the invariants polynomials $\Sgg$. For each invariant polynomial $p$, we define a $G$-equivariant map $Dp$ form $\Lie{g}$ to $\Lie{g}$. We show that the Gram-Schmidt orthogonalization of the elements $\{Dp_1(ρ^\vee), ... Dp_r(ρ^\vee) \}$ gives the principal basis of $\Lie{h}$. Similarly the orthogonalization of the elements $\{Dp_1(ρ), >... Dp_r(ρ) \}$ produces the principal basis of the Cartan subalgebra of $\lLie{g}$, the Langlands dual of $\Lie{g}$.

研究动机与目标

• 提供一种系统方法，利用 $S(\mathfrak{g}^*)^\mathfrak{g}$ 的生成元构造 Cartan 子代数的主基。
• 通过引入图自同构 $\sigma$ 的精化，解决 $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ 中 $l$ 为偶数时主基的非唯一性问题。
• 通过在 $\rho$ 和 $\rho^\vee$ 处求值，建立 $\mathfrak{g}$ 的主基与 Langlands 对偶 $\mathfrak{g}^\vee$ 的主基之间的对应关系。
• 证明在 $\rho^\vee$ 处，不变多项式梯度张成 Cartan 子代数，经正交化后生成主基。

提出的方法

• 对 $S(\mathfrak{g}^*)^\mathfrak{g}$ 的每个生成元 $p_i$，定义 $G$-等变映射 $Dp_i: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ 为 $p_i$ 的微分。
• 在元素 $\rho^\vee$（正余根之和）处求值，得到 $\mathfrak{g}$ 中的元素。
• 利用不变双线性型 $B$ 将 $\mathfrak{g}$ 与 $\mathfrak{g}^*$ 对应，使得 $Dp_i(\rho^\vee)$ 被视为 $\mathfrak{g}$ 中的元素。
• 对集合 $\{Dp_1(\rho^\vee), \dots, Dp_r(\rho^\vee)\}$ 应用 Gram-Schmidt 正交化，得到 $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$ 的主基。
• 对 Langlands 对偶 $\mathfrak{g}^\vee$，在 $\rho$ 处求值 $Dp_i$，并应用相同的正交化过程，得到 $\mathfrak{h}^\vee \subset \mathfrak{g}^\vee$ 的主基。
• 在 $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ 且 $l$ 为偶数的情形下，施加基元素为图自同构 $\sigma$ 的特征向量的条件，以确保唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从 $S(\mathfrak{g}^*)^\mathfrak{g}$ 的生成元系统地构造 Cartan 子代数的主基？
• RQ2 Weyl 向量 $\rho^\vee$ 在通过不变多项式梯度生成主基的过程中起什么作用？
• RQ3 为何在 $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ 中当 $l$ 为偶数时主基不唯一？如何解决这一歧义？
• RQ4 如何构造 $\mathfrak{g}$ 的主基与 Langlands 对偶 $\mathfrak{g}^\vee$ 的主基之间的关系？
• RQ5 能否通过要求基在图自同构 $\sigma$ 下不变，唯一确定 $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ 中的主基？

主要发现

• 集合 $\{Dp_1(\rho^\vee), \dots, Dp_r(\rho^\vee)\}$ 构成 Cartan 子代数 $\mathfrak{h}$ 的基，如定理 4.3 所证。
• 经 Gram-Schmidt 正交化后，元素 $Dp_i(\rho^\vee)$ 生成 $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$ 的主基 $\{h_1, \dots, h_r\}$，如定理 4.3(b) 所述。
• 集合 $\{Dp_1(\rho), \dots, Dp_r(\rho)\}$ 构成 Langlands 对偶李代数 $\mathfrak{g}^\vee$ 的 Cartan 子代数 $\mathfrak{h}^\vee$ 的基，如定理 4.8 所示。
• 正交化后，$Dp_i(\rho)$ 生成 $\mathfrak{h}^\vee \subset \mathfrak{g}^\vee$ 的主基，完成对偶性构造。
• 在 $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ 且 $l$ 为偶数时，由于存在两个同维数的不可约 $\mathfrak{s}_0$-模，主基不唯一，但要求在图自同构 $\sigma$ 下为特征向量可恢复唯一性。
• 在 $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ 情形下，$Dp_i(\rho^\vee)$ 与 $Dp_e(\rho^\vee)$ 正交，且 $Dp_e(\rho^\vee)$ 位于 $\sigma$-不变特征子空间 $\mathfrak{g}_1$ 中，其余元素位于 $\mathfrak{g}_0$ 中，如命题 5.4 所示。