[论文解读] Principal series representations of metaplectic groups over local fields

Peter J. McNamara|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文发展了在非阿代尔局部域上，对由 $ n $ 阶循环群向分裂半单群作中心扩张的叠群（metaplectic groups）的主系表示理论——在驯服条件（tameness conditions）下。本文建立了叠群的 Satake 同构，并引入了一类组合意义上的对偶群，通过 Hecke 代数结构与范畴化几何构造，将 Langlands 廷用性推广至该设定。

ABSTRACT

Let G be a split reductive algebraic group over a non-archimedean local field. We study the representation theory of a central extension $\G$ of G by a cyclic group of order n, under some mild tameness assumptions on n. In particular, we focus our attention on the development of the theory of principal series representations for $\G$ and applications of this theory.

研究动机与目标

• 将主系表示理论推广至叠群，即在 $ n $ 的驯服假设下，对分裂半单群关于 $ \mu_n $ 的中心扩张。
• 将 Satake 同构推广至叠群设定，建立球面 Hecke 代数与叠群覆盖的对偶群之间的联系。
• 为叠群定义一种组合对偶群，将经典的 Langlands 对偶群构造推广至非半单、非 simply-connected 的覆盖情形。
• 为通过 Hecke 代数同构关联叠群表示提供一个框架，尤其在 Iwahori 与球面情形。
• 将代数 Hecke 代数结构与几何构造（如仿射 Grassmannian 上 torsor 上的 perverse sheaves）相联系。

提出的方法

• 通过局部整环 $ O_F $ 上半单群 $ \mathbf{G} $ 的共轭特征格与余根数据，构造叠群 $ \widetilde{G} $ 为 $ G $ 关于 $ \mu_n $ 的中心扩张。
• 应用 Stone–von Neumann 定理，证明尽管结构非交换，叠群环面的不可约表示仍为有限维。
• 从 $ \widetilde{G} $ 中 Borel 子群的逆像诱导主系表示，将经典构造推广至叠群覆盖情形。
• 为这些诱导表示发展 Jacquet 模与相互作用算子，将标准表示论工具适配至叠群设定。
• 利用 Iwahori 子群与极大紧致子群 $ K = \mathbf{G}(O_F) $，定义反真（anti-genuine）且紧支集的函数的 Hecke 代数，并以生成元与关系式呈现。
• 建立叠群 Satake 同构（定理 10.1），并从覆盖的根数据构造对偶群 $ \widetilde{G}^\vee $，推广经典 Langlands 对偶群构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将主系表示理论扩展至叠群，即半单群的非分裂中心扩张？
• RQ2 Iwahori 与球面 Hecke 代数在叠群中的结构为何？它们与对偶群有何关系？
• RQ3 能否为叠群定义一种组合对偶群，使其在叠群非半单的情况下仍可推广经典 Langlands 对偶群？
• RQ4 Satake 同构与 Hecke 代数同构如何促成不同叠群表示之间的对应？
• RQ5 叠群对偶群的几何实现为何？它与仿射 Grassmannian 上 $ \mathbb{G}_m $-torsor 上的 perverse sheaves 有何关系？

主要发现

• 叠群 Satake 同构（定理 10.1）给出了球面 Hecke 代数 $ \mathcal{H}(\widetilde{G}, K) $ 与对偶群 $ \widetilde{G}^\vee $ 的表示环之间的典范同构。
• Iwahori-Hecke 代数 $ \mathcal{H}(\widetilde{G}, I) $ 具有生成元与关系的呈现形式，其中显式关系涉及 $ T_\lambda $ 与 $ T_s $，如定理 12.4 所示。
• 对偶群 $ \widetilde{G}^\vee $ 是一个复半单群，其根系由覆盖的二次型 $ Q $ 导出，推广了经典对偶群构造。
• 同构的对偶群 $ \widetilde{G}^\vee \cong \widetilde{H}^\vee $ 蕴含同构的 Iwahori-Hecke 代数 $ \mathcal{H}_\epsilon(\widetilde{G}, I) \cong \mathcal{H}_\epsilon(\widetilde{H}, I) $，如推论 13.1 所示。
• 通过仿射 Grassmannian 上 $ \mathbb{G}_m $-torsor 上的 perverse sheaves 实现的范畴化叠群 Satake 同构，将 $ \widetilde{G}^\vee $ 视为等变 perverse sheaf 的张量范畴的对称群。
• 在假设 $ F^\times $ 包含 $ 2n $ 次单位根且 $ 2n $ 与剩余特征互素的条件下，对偶群的构造成立，确保了驯服性。