[论文解读] Principles of Locally Conformally Kahler Geometry

Liviu Ornea, Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2022

Geometry and complex manifolds被引用 4

一句话总结

本文提出了一套关于局部共形凯勒（LCK）几何的全面理论框架，通过凯勒覆叠、权丛和自守形式统一了多种定义。该研究在上同调理论与维斯曼几何方面建立了基础性结果，证明了紧致维斯曼流形具有典范叶状结构，并通过结构定理实现分解，其关键应用包括全纯叶状结构以及LCK流形上的平坦仿射结构。

ABSTRACT

An LCK (locally conformally Kahler) manifold is a complex manifold admitting a Kahler covering with monodromy acting by homotheties. Hopf manifolds and their submanifolds are the prime examples. This book presents an introduction to the principles of LCK geometry (the first two parts) and its current situation (the last part). It is supposed to be accessible to master and graduate students of complex geometry. The book contains many exercises of different levels of difficulty. We finish it by a list of open questions.

研究动机与目标

• 通过凯勒覆叠、权丛和自守形式，统一并系统化局部共形凯勒（LCK）流形的多种定义。
• 在LCK与维斯曼流形上建立上同调理论与上同调的基础结果，特别关注调和形式与李形式。
• 研究紧致维斯曼流形的几何与拓扑结构，最终得出此类空间的结构定理。
• 探讨与全纯叶状结构、平坦仿射结构以及LCK流形的单值性相关的开放问题，尤其关注贝乌维尔型定理与分裂切丛的关系。

提出的方法

• 利用伽罗瓦理论与提升变换群，通过离散群作用的商空间定义LCK流形，实现凯勒覆叠。
• 引入权丛与同位特征，将LCK结构与自守形式及凯勒度量的共形变换联系起来。
• 应用埃雷斯曼联络与弗罗贝尼乌斯定理，研究LCK几何中的叶状结构与可积性。
• 运用黎曼–希爾伯特对应关系，关联平坦联络与局部系统，尤其在全息向量丛的研究中。
• 应用卡拉比公式与陈联络，分析LCK流形上全息线丛的曲率与正性。
• 利用德拉姆分裂定理与锥形黎曼度量，分析维斯曼流形的holonomy与局部结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个Vaisman流形上的对数叶状结构是否都具有横截凯勒结构，且是否总是紧密的？
• RQ2 Vaisman流形能否存在一个光滑的一维全纯叶状结构，且不包含任何紧致叶？
• RQ3 是否存在非维斯曼的LCK流形，其切丛分裂为（TM = ⊕Li），且在何种条件下每个Li都允许平坦全纯联络？
• RQ4 复仿射LCK流形上平坦联络的单值性是否总是阿贝尔的？
• RQ5 所有具有LCK度量的复完全仿射流形是否都源于赫塞因堡型的Vaisman尼尔曼ifold？

主要发现

• 紧致维斯曼流形的结构定理确立了典范叶状结构，并将流形分解为基空间为凯勒流形、并带有圆作用的类似乘积结构。
• 维斯曼流形上的调和1-形式可分解为李形式与正交补空间中的上同调类的直和，提供了更精细的霍奇分解。
• 秩1维斯曼结构的特征是存在一个与李形式对偶的全局基灵向量场，且此类流形在局部上同构于凯勒锥。
• OT流形与对角霍夫流形的切丛可分解为平坦全纯线丛，且这些流形允许平坦联络。
• 目前已知的所有复完全仿射LCK流形均为赫塞因堡型的Vaisman尼尔曼ifold，暗示可能存在分类约束。
• 在已知的LCK流形（如Vaisman尼尔曼ifold、霍夫流形、OT流形）上，平坦联络的单值性均为阿贝尔的，这引发了一个开放问题：该性质是否普遍成立？