[论文解读] Prioritized Inverse Kinematics: Nonsmoothness, Trajectory Existence, Task Convergence, Stability

Sang-ik An, Dongheui Lee|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文通过分析非光滑性、轨迹存在性、任务收敛性和稳定性，为优先级逆运动学（PIK）建立了理论基础。提出了在PIK解下关节轨迹的存在性与唯一性新定理，无需假设恒定期望轨迹即可证明任务收敛性，并展示了平衡点的渐近稳定性，从而为具有优先级任务的机器人系统提供了可靠的控制设计理论支持。

ABSTRACT

In this paper, we study various theoretical properties of a class of prioritized inverse kinematics (PIK) solutions that can be considered as a class of (output regulation or tracking) control laws of a dynamical system with prioritized multiple outputs. We first develop tools to investigate nonsmoothness of PIK solutions and find a sufficient condition for nonsmoothness. It implies that existence and uniqueness of a joint trajectory satisfying a PIK solution cannot be guaranteed by the classical theorems. So, we construct an alternative existence and uniqueness theorem that uses structural information of PIK solutions. Then, we narrow the class of PIK solutions down to the case that all tasks are designed to follow some desired task trajectories and discover a few properties related to task convergence. The study goes further to analyze stability of equilibrium points of the differential equation whose right hand side is a PIK solution when all tasks are designed to reach some desired task positions. Finally, we furnish an example with a two-link manipulator that shows how our findings can be used to analyze the behavior of a joint trajectory generated from a PIK solution.

研究动机与目标

• 为优先级逆运动学（PIK）中的理论空白提供补充，特别是关于非光滑性与轨迹存在性的问题。
• 建立在经典定理失效时，仍能保证关节轨迹存在且唯一的条件。
• 分析当任务目标为时变期望轨迹而非固定位置时的任务收敛性。
• 研究由PIK解定义的微分方程中平衡点的稳定性。
• 提供一个理论框架，以支持基于PIK的控制律在机器人系统中的可靠设计。

提出的方法

• 通过放松目标函数的表示性质，开发了分析PIK解非光滑性的工具。
• 提出一种基于PIK解结构信息的替代存在性与唯一性定理，绕过经典定理（如Peano定理）的限制。
• 将PIK解形式化为具有优先级输出的动力系统控制律，以分析轨迹行为。
• 利用积分不等式与极限论证，分析时变期望轨迹下的任务收敛性。
• 通过类似李雅普诺夫的分析方法，建立平衡点的渐近稳定性，证明其收敛至期望任务位置。
• 通过双连杆机械臂实例验证了研究结果，展示了在非光滑PIK下轨迹存在性、收敛性与稳定性的分析保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下PIK解是非光滑的，且如何形式化表征这一性质？
• RQ2 当经典定理失效时，能否保证满足PIK解的关节轨迹存在且唯一？
• RQ3 当任务遵循时变期望轨迹时，PIK解是否能确保任务收敛？对哪些反馈增益成立？
• RQ4 当任务目标为固定期望位置时，PIK诱导的微分方程的平衡点是否渐近稳定？
• RQ5 理论成果如何应用于实际机器人系统，以确保可靠行为？

主要发现

• 推导出PIK解非光滑性的充分条件，表明经典存在性定理无法保证轨迹存在。
• 基于PIK解的结构特性构建了替代的存在性与唯一性定理，即使在PIK非光滑时也能确保轨迹存在。
• 证明了对所有正反馈增益，任务均可收敛至时变期望轨迹，且无需假设期望轨迹恒定。
• 当任务目标为固定期望位置时，PIK诱导微分方程的平衡点是渐近稳定的。
• 仅当最终构型满足运动学约束时，关节轨迹的极限才收敛至可行集中的某一点，从而确保任务误差收敛。
• 双连杆机械臂实例验证表明，利用所提出的框架可分析性地保证轨迹存在性、任务收敛性与稳定性。