[论文解读] Priority Downward Closures

Ashwani Anand, Georg Zetzsche|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

semigroups and automata theory被引用 2

一句话总结

本文提出优先级向下闭包作为具有基于优先级的消息丢弃的丢失信道系统的改进抽象，证明此类闭包为正则语言，并提供计算其有限自动机的算法。针对一 counters 自动机，提出多项式时间算法；针对上下文无关语言，使用块序和递归语法变换，给出双指数时间构造方法。

ABSTRACT

When a system sends messages through a lossy channel, then the language encoding all sequences of messages can be abstracted by its downward closure, i.e. the set of all (not necessarily contiguous) subwords. This is useful because even if the system has infinitely many states, its downward closure is a regular language. However, if the channel has congestion control based on priorities assigned to the messages, then we need a finer abstraction: The downward closure with respect to the priority embedding. As for subword-based downward closures, one can also show that these priority downward closures are always regular. While computing finite automata for the subword-based downward closure is well understood, nothing is known in the case of priorities. We initiate the study of this problem and provide algorithms to compute priority downward closures for regular languages, one-counter languages, and context-free languages.

研究动机与目标

• 为解决基于子词的向下闭包在建模优先级感知的丢失信道时的局限性，其中高优先级消息可取代低优先级消息。
• 通过优先级超越序（PSO）形式化一种新抽象——优先级向下闭包，以捕捉通信系统中现实的拥塞控制行为。
• 启动对无限状态系统优先级向下闭包的有限自动机构造研究，特别针对正则语言、一 counters 语言和上下文无关语言。
• 证明优先级向下闭包始终为正则语言，扩展了子词向下闭包的经典正则性结果。
• 提供构造性算法以计算这些闭包，并为不同语言类提供复杂度界限。

提出的方法

• 引入块序作为 PSO 的对称、优先级感知替代方案，以支持对基于优先级的子词关系的更结构化分析。
• 在温和假设下，将优先级向下闭包的计算归约为块向下闭包，利用块序的结构特性。
• 通过替换和 Kleene 风格语法，开发用于块向下闭包的递归语法构造方法，非终结符用于追踪优先级上下文。
• 针对一 counters 自动机，通过修改现有子词闭包技术以尊重块序，依赖于重复因子会增加块序的事实。
• 针对上下文无关语言，通过递归计算非终结符和优先级对的子语法规则，然后使用辅助非终结符组合生成 Kleene 语法，以模拟优先级传播。
• 通过展开步骤的归纳法证明正确性，表明所构造的语法恰好生成原始语言的块向下闭包。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限状态系统的优先级向下闭包能否被算法计算？若可，其复杂度如何？
• RQ2 块序是否是计算优先级向下闭包的合适中间抽象？它是否保持正则性？
• RQ3 能否为一 counters 自动机等受限语言类使优先级向下闭包的计算更高效？
• RQ4 对上下文无关语言，计算优先级向下闭包的最坏情况复杂度是多少？
• RQ5 块向下闭包与优先级向下闭包的结果能否推广到其他形式化系统，如向量加法系统或高阶下推自动机？

主要发现

• 优先级向下闭包始终为正则语言，将经典子词向下闭包的正则性结果扩展至基于优先级的系统。
• 对于一 counters 自动机，多项式时间算法可计算优先级向下闭包，使其在实际验证任务中高效可用。
• 对于上下文无关语言，提供了输入语法大小的双指数时间构造方法，目前为最佳已知上界。
• 该构造依赖于使用块序和替换的递归语法变换，正确性通过推导展开步骤的归纳法证明。
• 块序使优先级向下闭包的计算可归约为块向下闭包，简化分析并支持递归分解。
• 有向无环推导足以生成优先级向下闭包中的所有字，确保所构造的语法为有效有限状态。