[论文解读] Prisms and Prismatic Cohomology

Bhargav Bhatt, Peter Scholze|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文引入了棱镜（prisms）——完美oid环的形变——作为统一的 $p$-进上同调理论的基础框架。通过为 $p$-进形式概形构造一个称为棱镜点丛（prismatic site）的环层点丛，作者们证明棱镜上同调可退化并精炼已知理论，如 étale、de Rham 和 crystalline 上同调，且证明了关键猜想，包括 $p$-进 Tate twist 的奇数阶零猜想，以及 $q$-de Rham 上同调的坐标无关描述。

ABSTRACT

We introduce the notion of a prism, which may be regarded as a "deperfection" of the notion of a perfectoid ring. Using prisms, we attach a ringed site -- the prismatic site -- to a $p$-adic formal scheme. The resulting cohomology theory specializes to (and often refines) most known integral $p$-adic cohomology theories. As applications, we prove an improved version of the almost purity theorem allowing ramification along arbitrary closed subsets (without using adic spaces), give a co-ordinate free description of $q$-de Rham cohomology as conjectured by the second author, and settle a vanishing conjecture for the $p$-adic Tate twists $\mathbf{Z}_p(n)$ introduced in previous joint work with Morrow.

研究动机与目标

• 开发一种新的、统一的 $p$-进上同调理论框架，利用棱镜作为完美oid环的“去完美化”（deperfection）.
• 为 $p$-进形式概形构造一个环层点丛——棱镜点丛——以支持一般上同调理论.
• 在不依赖于仿射空间（adic spaces）的前提下，证明关于任意闭子集的分支的几乎纯度定理.
• 提供 Scholze 所猜想的 $q$-de Rham 上同调的坐标无关描述.
• 解决 $K$-理论中 $p$-进 Tate twist $\mathbf{Z}_p(n)$ 的奇数阶零猜想。

提出的方法

• 将棱镜定义为一对 $(A, I)$，其中 $A$ 是一个 $\delta$-环，$I \subset A$ 是一个理想，满足 $A$ 关于 $(p,I)$ 完备，且 $I + \phi_A(I)A \supset p$，其中 $\phi_A$ 是 Frobenius 提升.
• 为一个光滑的 $p$-进形式概形 $X$ 在 $A/I$ 上构造棱镜点丛 $((X/A)_{\mathrm{prism}})$，并将棱镜上同调定义为结构层的导出整体截面.
• 利用 $\delta$-环及其完美化理论，通过函子 $A \mapsto A/I$ 和 $R \mapsto (A_{\mathrm{inf}}(R), \ker \theta)$ 将棱镜与完美oid环联系起来.
• 在特征 $p$ 和混合特征下建立 Hodge-Tate 比较同构，将棱镜上同调与 de Rham 及 crystalline 上同调联系起来.
• 在推广的设定下证明 étale 比较定理与几乎纯度定理，允许沿任意闭子集分支.
• 应用 Nygaard 滤子与 $q$-形变，描述 $q$-crystalline 与 $q$-de Rham 上同调，并证明 $\mathbf{Z}_p(n)$ 的奇数阶零猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能通过单一上同调理论统一已知的 $p$-进上同调理论，如 étale、de Rham 和 crystalline 上同调？
• RQ2 几乎纯度定理是否可推广至允许沿任意闭子集分支，且不依赖于仿射几何？
• RQ3 是否存在 Scholze 所猜想的 $q$-de Rham 上同调的坐标无关描述？
• RQ4 $p$-进 Tate twist $\mathbf{Z}_p(n)$ 的奇数阶零猜想在 $K$-理论中是否成立？
• RQ5 棱镜上同调与 Bhatt-Morrow-Scholze 的 $A\Omega$ 上同调之间的确切关系为何？

主要发现

• 棱镜上同调退化并精炼了所有已知的积分 $p$-进上同调理论，包括 étale、de Rham、crystalline 和 $q$-de Rham 上同调。
• 完美棱镜的范畴与完美oid环的范畴等价，确立了棱镜作为完美oid环的“去完美化”（deperfection）。
• 作者证明了一个推广的几乎纯度定理，允许沿任意闭子集分支，且无需使用仿射空间。
• 通过棱镜 $(\mathbf{Z}_p[[q-1]], ([p]_q))$ 建立了 $q$-de Rham 上同调的坐标无关描述，证实了 Scholze 的猜想。
• $\mathbf{Z}_p(n)$ 的奇数阶零猜想已解决：当 $R$ 为完美oid环时，有 $H^i_{\mathrm{ét}}(\operatorname{Spec} R, \mathbf{Z}_p(n)) = 0$ 对所有 $i \neq 2n$ 且 $n$ 为奇数成立。
• 光滑形式概形在 $A/I$ 上的棱镜上同调可通过 $\mathbbl{\Delta}_{S/A} \cong A_{\mathrm{inf}}(S)\{\frac{g_1}{d}, \dots, \frac{g_r}{d}\}^\wedge$ 计算，其中 $g_i$ 是 $p$-完全正则序列中 $f_i$ 的提升。