[论文解读] Private-Capacity Bounds for Bosonic Wiretap Channels

Ligong Wang, Jeffrey H. Shapiro+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文为单模和多模玻色型窃听信道建立了紧致的私密容量上下界，证明在低光子数条件下私密容量的标度为 $ g((2\theta - 1)\bar{n}) $。此外，仅利用信道矩阵的二阶矩，推导出大气湍流信道的私密容量下界，实现了在近场条件下实用的容量估计。

ABSTRACT

We prove an upper bound on the private capacity of the single-mode noiseless bosonic wiretap channel. Combined with a previous lower bound, we obtain the low photon-number asymptotic expression for the private capacity. We then show that the multiple-mode noiseless bosonic wiretap channel is equivalent to parallel single-mode channels, hence the single-mode bounds can be applied. Finally, we consider multiple-spatial-mode propagation through atmospheric turbulence, and derive a private-capacity lower bound that only requires second moments of the channel matrix.

研究动机与目标

• 推导单模无噪声玻色型窃听信道私密容量的紧致上界。
• 通过结合上下界，确定私密容量在低光子数条件下的渐近行为。
• 通过证明多模信道等价于并行的单模信道，将单模结果推广至多模信道。
• 仅利用信道矩阵的二阶矩，推导多空间模态通过大气湍流传播的私密容量下界。
• 在湍流条件下，实现近场自由空间光通信中私密容量的实用估计，且仅需最少的信道状态信息。

提出的方法

• 利用凸性和极大化理论，证明私密容量 $ C_{\text{P}}(\theta,\bar{n}) \triangleq U(\theta,\bar{n}) = g((2\theta - 1)\bar{n}) $ 在 $ \theta > 1/2 $ 时的上界。
• 利用先前已知的下界 $ L(\theta,\bar{n}) = g(\theta\bar{n}) - g((1-\theta)\bar{n}) $（当 $ \theta > 1/2 $ 时），并与新推导的上界结合，确定低 $ \bar{n} $ 条件下的渐近行为。
• 证明多模无噪声玻色型窃听信道等价于并行的单模信道，从而可直接应用单模信道的边界结果。
• 利用下界函数 $ L^{\text{M}}(\boldsymbol{\theta},\bar{n}) $ 的凸性和 Schur-凸性，推导在湍流条件下的下界。
• 应用极大化理论，证明 $ \text{E}[\boldsymbol{T}_{ab}^\top \boldsymbol{T}_{ab}] $ 的特征值主导其对角线元素，从而仅基于二阶矩即可建立边界。
• 推导出 $ C_{\text{P}}^{\text{M}}(\boldsymbol{T},\bar{n}) \triangleq \text{E}[L^{\text{M}}(\boldsymbol{H},\bar{n})] \triangleq \text{E}[L^{\text{M}}(\boldsymbol{M},\bar{n})] \triangleq L^{\text{M}}(\boldsymbol{\theta},\bar{n}) $，其中 $ \boldsymbol{\theta} $ 为 $ \text{E}[\boldsymbol{T}_{ab}^\top \boldsymbol{T}_{ab}] $ 的特征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 单模玻色型窃听信道在低光子数条件下的私密容量渐近行为是什么？
• RQ2 能否为单模无噪声玻色型窃听信道推导出紧致的私密容量上界？
• RQ3 在高谱效率和光子效率条件下，多模玻色型窃听信道的私密容量如何标度？
• RQ4 多空间模态自由空间光链路受大气湍流影响时，其私密容量下界是什么？
• RQ5 私密容量下界能否仅用信道矩阵的二阶统计量表示？

主要发现

• 单模无噪声玻色型窃听信道的私密容量在 $ \theta > 1/2 $ 时被上界 $ U(\theta,\bar{n}) = g((2\theta - 1)\bar{n}) $ 紧致限定，且在低光子数条件下该上界为紧致。
• 新推导的上界与已知下界 $ L(\theta,\bar{n}) $ 联合使用，可精确确定低光子数条件下的渐近私密容量：当 $ \bar{n} \to 0 $ 时，$ C_{\text{P}}(\theta,\bar{n}) \to g((2\theta - 1)\bar{n}) $。
• 多模无噪声玻色型窃听信道等价于并行的单模信道，因此单模信道的边界可直接应用于多模情形。
• 对于多空间模态通过大气湍流的传播，推导出仅依赖于 $ \text{E}[\boldsymbol{T}_{ab}^\top \boldsymbol{T}_{ab}] $ 特征值的私密容量下界，即信道矩阵的二阶矩。
• 所推导的下界 $ C_{\text{P}}^{\text{M}}(\boldsymbol{T},\bar{n}) \triangleq L^{\text{M}}(\boldsymbol{\theta},\bar{n}) $ 在 $ \boldsymbol{\theta} $ 为 $ \text{E}[\boldsymbol{T}_{ab}^\top \boldsymbol{T}_{ab}] $ 的特征值时最为紧致，且可对聚焦光束、厄米-高斯或拉盖尔-高斯模式进行计算。
• 该下界不依赖于信道矩阵的表示基，因此具有鲁棒性，适用于自由空间光通信中各种空间模态配置。