[论文解读] Privileged coordinates and tangent groupoid for Carnot manifolds

Woocheol Choi, Raphaël Ponge|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 3

一句话总结

本文引入了卡诺坐标——一种针对卡诺流形的精炼特权坐标，其使外蕴与内蕴切群对齐，从而实现了卡诺流形之间结构保持映射的微分几何切线逼近。本文构建了卡诺流形的切群胚，实现了贝拉伊奇的猜想，并建立了完整的超椭圆伪微分演算框架。

ABSTRACT

This paper is part of a series of papers on the construction of a full hypoelliptic pseudodifferential calculus on Carnot manifolds. The first goal of the paper is to produce a refinement of privileged coordinates for Carnot manifolds for which the extrinsic tangent group agree with the intrinsic tangent group. We call these coordinates Carnot coordinates. These coordinates have various applications and we present a number of them in this paper. This lead us to the second goal of this paper, which is to use these coordinates to establish an approximation result for maps between Carnot manifolds that are compatible with the Carnot manifold structures. Here the map is approximated in a suitable way by its tangent map, which is defined as a Lie group map between the corresponding tangent groups. This result is new and is the complete analogue in the setup of Carnot manifolds of the tangent linear approximation of smooth maps between manifolds. The third goal of this paper is to make use of the Carnot coordinates and their properties to construct an analogue for Carnot manifolds of the tangent groupoid of Connes. We then obtain a differentiable groupoid which encodes the smooth deformation of the pair groupoid $M imes M$ to the tangent Lie group bundle of the Carnot manifold. The existence of such a groupoid was conjectured by Bella\iche. This shows that the tangent group of Carnot manifold at a given point is tangent in a true differential-geometric fashion.

研究动机与目标

• 将卡诺流形上的特权坐标进行精炼，使得外蕴切群与内蕴切群一致。
• 为卡诺流形之间的结构保持映射建立切线映射逼近，类似于经典线性逼近。
• 构造一个微分群胚，将流形的对群胚 $M \times M$ 变形为卡诺流形的切李群丛。
• 证实贝拉伊奇关于卡诺流形上此类切群胚存在的猜想。
• 为卡诺流形上完整的超椭圆伪微分演算奠定基础。

提出的方法

• 将卡诺坐标引入为特权坐标的精炼形式，以确保外蕴与内蕴切结构的相容性。
• 利用卡诺坐标定义一个保持卡诺流形结构的切群之间的切映射。
• 构造一个群胚，作为对群胚 $M \times M$ 到流形切李群丛的光滑变形。
• 应用卡诺坐标的性质，验证所得对象的可微性与群胚结构。
• 利用该群胚以与超椭圆分析一致的方式编码无穷小形变。
• 证明点处的切群在微分几何意义上确实是切的，从而验证构造的几何自然性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对卡诺流形上的特权坐标进行精炼，使得外蕴切群与内蕴切群一致？
• RQ2 在保持结构的前提下，卡诺流形之间的映射能在多大程度上通过其切映射实现逼近？
• RQ3 是否存在一个微分群胚，能将卡诺流形的对群胚变形为其中的切李群丛？
• RQ4 卡诺流形的切群能否被解释为真正的微分几何时切对象？
• RQ5 此类群胚的构造如何支持完整的超椭圆伪微分演算？

主要发现

• 卡诺坐标被构造为使得每一点的外蕴切群与卡诺流形的内蕴切群完全一致。
• 建立了一种针对卡诺流形之间结构保持映射的新切线逼近，类似于经典线性逼近。
• 卡诺流形的切群胚被显式构造为一个微分群胚，其将 $M \times M$ 变形为切李群丛。
• 该构造证实了贝拉伊奇关于此类群胚在卡诺流形背景下存在的猜想。
• 证明了点处的切群在微分几何时确实是真正的切对象，验证了构造的几何自然性。
• 该框架支持在卡诺流形上发展完整的超椭圆伪微分演算。