[论文解读] Pro-p Iwahori-Hecke algebras are Gorenstein

Rachel Ollivier, Peter Schneider|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 7

一句话总结

该论文证明了在任意域上，pro-p Iwahori-Hecke代数及其Iwahori-Hecke对偶代数均为Gorenstein环，且其自内射维数有界，其上界为半单代数群G的秩；当G为半单时，这些代数为Auslander-Gorenstein环。此外，该文进一步证明在特征p下，这些代数具有无限全局维数，这意味着当k为代数闭域时，由Iwahori不变向量生成的G的光滑k-表示范畴也具有无限全局维数。

ABSTRACT

Let F be a locally compact nonarchimedean field with residue characteristic p and G the group of F-rational points of a connected split reductive group over F. For k an arbitrary field, we study the homological properties of the Iwahori-Hecke k-algebra H' and of the pro-p Iwahori-Hecke k-algebra H of G. We prove that both of these algebras are Gorenstein rings with self-injective dimension bounded above by the rank of G. If G is semisimple, we also show that this upper bound is sharp, that both H and H' are Auslander-Gorenstein and that there is a duality functor on the finitely generated modules of H (respectively H'). We obtain the analogous Gorenstein and Auslander-Gorenstein properties for the graded rings associated to H and H'. When k has characteristic p, we prove that in most cases H and H' have infinite global dimension. In particular, we deduce that the category of smooth k-representations of G=PGL(2,Q_p) generated by their invariant vectors under the pro-p-Iwahori subgroup has infinite global dimension (at least if k is algebraically closed).

研究动机与目标

• 研究任意域上pro-p Iwahori-Hecke代数与Iwahori-Hecke代数的同调性质，尤其关注特征p的情形。
• 确定这些代数是否为Gorenstein环，以及其模范畴是否允许对偶函子的存在。
• 分析当基域具有特征p时，这些代数的全局维数，特别是在mod p表示理论背景下的意义。
• 将Gorenstein与Auslander-Gorenstein性质推广至Hecke代数的关联分次环。

提出的方法

• 利用Bruhat-Tits理论与仿射Weyl群的结构，分析pro-p Iwahori-Hecke代数H的代数结构。
• 构造一个普遍上同调扩张，并应用Frobenius扩张理论，将H与其子代数关联起来。
• 应用分次Hecke代数理论，并利用共特征格上的长度函数，建立诺特性与有限生成性。
• 通过中心与Weyl群作用，借助非交换环论的结果，包括自内射维数上界与Auslander-Gorenstein条件。
• 运用Gordon引理由，证明共特征格中半群的有限生成性，从而确保分次代数在某个交换子环上有限生成。
• 利用典范滤过与相伴分次环，将H的同调性质转移至gr•H。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意域上，pro-p Iwahori-Hecke代数是否为自内射维数有限的Gorenstein环？
• RQ2 当k具有特征p时，由Iwahori不变向量生成的G的光滑k-表示范畴是否具有有限全局维数？
• RQ3 与pro-p Iwahori-Hecke代数相关的分次环是否也是Gorenstein环？其自内射维数是多少？
• RQ4 在何种条件下，pro-p Iwahori-Hecke代数为Auslander-Gorenstein环，特别是当G为半单时？
• RQ5 在正特征下，Iwahori-Hecke代数及其pro-p变体的全局维数是多少？

主要发现

• pro-p Iwahori-Hecke代数H与Iwahori-Hecke代数H′均为Gorenstein环，且其自内射维数有上界，上界为G的秩。
• 当G为半单时，H与H′的自内射维数恰好等于G的秩，表明该上界是紧的。
• 关联分次环gr•H与gr•H′也是Gorenstein环；当G为半单时，它们为Auslander-Gorenstein环。
• 对于特征为p的域k，代数H与H′具有无限全局维数，这意味着由Iwahori不变向量生成的G的光滑k-表示范畴也具有无限全局维数。
• 特别地，当G = PGL₂(ℚₚ)且k为特征p的代数闭域时，由Iwahori不变向量生成的G的光滑k-表示范畴具有无限全局维数。
• 分次代数gr•H作为有限生成交换k-代数上的模是有限生成的，从而保证其为左、右诺特环。