[论文解读] Probabilistic Inequalities and Upper Probabilities in Quantum Mechanical Entanglement

J. Acácio de Barros, Patrick Suppes|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文提出使用非单调上概率来解决量子纠缠情景中的不一致问题，特别是在GHZ态下，通过放宽标准概率公理。研究表明，在强关联条件下，可以为GHZ态定义一致的联合上概率分布，从而避免传统概率框架中存在的逻辑矛盾。

ABSTRACT

In this paper we analyze the existence of joint probabilities for the Bell-type and GHZ entangled states. We then propose the usage of nonmonotonic upper probabilities as a tool to derive consistent joint upper probabilities for the contextual hidden variables. Finally, we show that for the extreme example of no error, the GHZ state allows for the definition of a joint upper probability that is consistent with the strong correlations.

研究动机与目标

• 解决量子纠缠中不存在联合概率分布的基础性问题，特别是在贝尔型和GHZ态中。
• 探讨通过弱化标准概率公理，上下文隐变量理论是否可以变得一致。
• 证明上概率（放松可加性和单调性）可为GHZ型关联生成一致的联合分布。
• 通过展示此类矛盾在上概率框架下消失，挑战‘上下文隐变量导致逻辑矛盾’的主张。

提出的方法

• 作者使用由Suppes和Zanotti（1991）定义的上概率理论，其中次可加性取代标准可加性，从而允许非单调性。
• 他们为GHZ态中所有可能测量结果的组合定义上概率，指定 p*(abc) = p*(¬a¬b¬c) = 1，其余组合均为 0。
• 通过次可加性检验一致性：p*(A) ≤ 所有子集上 p* 的和，以确保符合上概率公理。
• 期望值通过上概率计算，其中 E*(ABC) = 1·p*(abc ∪ ¬a¬bc ∪ ¬ab¬c ∪ a¬b¬c) + (−1)·p*(¬abc ∪ a¬bc ∪ ab¬c ∪ ¬a¬b¬c)。
• 该构造明确验证了在上概率模型下，所有边缘和联合期望（例如 E*(A) = E*(B) = E*(C) = 1，E*(ABC) = −1）均成立。
• 该方法应用于GHZ态，其完美关联性为 E(ABC) = −1，表明当上概率取代标准概率时，不会产生矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管经典联合概率不存在，是否仍可为GHZ态定义一致的联合上概率分布？
• RQ2 当使用上概率而非标准概率时，GHZ定理中推导出的逻辑矛盾是否仍然存在？
• RQ3 通过将标准概率公理替换为上概率公理，能否使上下文隐变量理论在逻辑上保持一致？
• RQ4 非单调性在解决量子互补性和非定域性悖论中起什么作用？

主要发现

• 对于 E(ABC) = −1 的GHZ态，存在一致的联合上概率分布，且满足所有边缘期望。
• 上概率赋值 p*(abc) = p*(¬a¬b¬c) = 1 且其余为 0，满足次可加性及上概率公理。
• 在上概率模型下，期望值 E*(ABC) = −1 保持不变，其中 p*(abc ∪ ¬a¬bc ∪ ¬ab¬c ∪ a¬b¬c) = 0 且 p*(¬abc ∪ a¬bc ∪ ab¬c ∪ ¬a¬b¬c) = 1。
• 次可加性检验确认了一致性：例如，p*(a) ≤ p*(abc) + p*(a¬bc) + p*(ab¬c) + p*(a¬b¬c) 推出 1 ≤ 1 + 0 + 0 + 0，该式成立。
• 该构造表明，即使在假设上下文隐变量的情况下，GHZ定理中的逻辑矛盾在上概率框架下也不会出现。
• 结果表明，当使用上概率时，上下文隐变量理论不会导致逻辑不一致，从而挑战了传统观点中此类理论本质上矛盾的看法。