[论文解读] Probabilistic Infinite Secret Sharing

László Csirmaz|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Cryptography and Data Security参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种使用任意概率空间和无限多参与者的概率无限秘密共享框架，通过可测方案表征可实现的访问结构。研究表明，每个访问结构均可实现非可测的完美方案，而可测的完美/几乎完美方案存在当且仅当访问结构在Sierpiński拓扑下为开集——等价于可通过广义程序实现；而可测的级联/几乎级联方案存在当且仅当该结构为Gδ集，等价于可通过希尔伯特空间程序实现。

ABSTRACT

The study of probabilistic secret sharing schemes using arbitrary probability spaces and possibly infinite number of participants lets us investigate abstract properties of such schemes. It highlights important properties, explains why certain definitions work better than others, connects this topic to other branches of mathematics, and might yield new design paradigms. A probabilistic secret sharing scheme is a joint probability distribution of the shares and the secret together with a collection of secret recovery functions for qualified subsets. The scheme is measurable if the recovery functions are measurable. Depending on how much information an unqualified subset might have, we define four scheme types: perfect, almost perfect, ramp, and almost ramp. Our main results characterize the access structures which can be realized by schemes of these types. We show that every access structure can be realized by a non-measurable perfect probabilistic scheme. The construction is based on a paradoxical pair of independent random variables which determine each other. For measurable schemes we have the following complete characterization. An access structure can be realized by a (measurable) perfect, or almost perfect scheme if and only if the access structure, as a subset of the Sierpiński space {0, 1} P, is open, if and only if it can be realized by a span program. The access structure can be realized by a (measurable) ramp or almost ramp scheme if and only if the access structure is a Gδ set (intersection of countably many open sets) in the Sierpiński topology, if and only if it can be realized by a Hilbert-space program.

研究动机与目标

• 研究使用任意概率空间和无限多参与者的概率秘密共享方案的抽象性质。
• 阐明为何在无限设定下某些秘密共享定义（如完美、几乎完美）比其他定义更合适。
• 建立秘密共享与拓扑、测度论及泛函分析等更广泛数学结构之间的联系。
• 完整表征不同类型的可测概率秘密共享方案可实现的访问结构。

提出的方法

• 将秘密共享建模为份额与秘密之间的联合概率分布，并为合格子集定义恢复函数。
• 根据未合格子集的信息泄露程度，定义四种方案类型——完美、几乎完美、级联、几乎级联。
• 使用Sierpiński空间{0,1}^P对访问结构进行拓扑化，并通过开集与Gδ集分析其性质。
• 应用测度论概念定义可测方案，确保恢复函数可测。
• 构造一对悖论性的独立随机变量，彼此决定，以实现非可测的完美方案。
• 建立访问结构类型与程序理论模型之间的等价关系：完美方案对应广义程序，级联方案对应希尔伯特空间程序。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限设定下，哪些访问结构可通过非可测的完美概率秘密共享方案实现？
• RQ2 访问结构需满足何种拓扑条件，才能确保可测的完美或几乎完美方案可实现？
• RQ3 级联与几乎级联方案在Sierpiński拓扑下如何与Borel层级（特别是Gδ集）关联？
• RQ4 可测秘密共享方案能否通过代数或泛函分析模型（如广义程序或希尔伯特空间程序）表征？
• RQ5 随机变量的悖论性独立性在构造非可测秘密共享方案中起何种作用？

主要发现

• 每个访问结构均可通过非可测的完美概率秘密共享方案实现，借助一对彼此决定的悖论性独立随机变量。
• 当且仅当访问结构在{0,1}^P上的Sierpiński拓扑下为开集时，存在可测的完美或几乎完美秘密共享方案。
• 当且仅当访问结构可通过广义程序实现时，存在可测的完美或几乎完美方案。
• 当且仅当访问结构在Sierpiński拓扑下为Gδ集（可数个开集的交集）时，存在可测的级联或几乎级联秘密共享方案。
• 此类方案等价于通过希尔伯特空间程序实现，建立了拓扑结构与泛函分析表示之间的深层联系。
• 本文在无限概率设定下，对所有四种方案类型完整建立了访问结构的拓扑与程序理论分类。