[论文解读] Probabilistic Meshless Methods for Partial Differential Equations and Bayesian Inverse Problems.

Jon Cockayne, Chris J. Oates+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 56被引用 32

一句话总结

本文提出了一种用于求解偏微分方程（PDEs）的概率无网格方法，并将其应用于PDE约束的贝叶斯反问题。通过将PDE的数值解视为一个随机变量，该方法量化并传播了离散化误差，即使PDE求解器失效或引入显著误差，也能实现稳健的统计推断，同时还将求解器选择问题形式化为贝叶斯实验设计问题。

ABSTRACT

This paper develops a probabilistic numerical method for solution of partial differential equations (PDEs) and studies application of that method to PDE-constrained inverse problems. This approach enables the solution of challenging inverse problems whilst accounting, in a statistically principled way, for the impact of discretisation error due to numerical solution of the PDE. In particular, the approach confers robustness to failure of the numerical PDE solver, with statistical inferences driven to be more conservative in the presence of substantial discretisation error. Going further, the problem of choosing a PDE solver is cast as a problem in the Bayesian design of experiments, where the aim is to minimise the impact of solver error on statistical inferences; here the challenge of non-linear PDEs is also considered. The method is applied to parameter inference problems in which discretisation error in non-negligible and must be accounted for in order to reach conclusions that are statistically valid.

研究动机与目标

• 开发一种在反问题中考虑离散化误差的统计上合理的PDE求解方法。
• 通过建模数值求解器的不确定性，提升贝叶斯反问题的鲁棒性。
• 解决在不确定性量化和求解器可靠性背景下非线性PDE的挑战。
• 将PDE求解器的选择形式化为贝叶斯实验设计问题，以最小化误差对推断的影响。
• 在离散化误差不可忽略的情况下，实现参数估计中有效的统计推断。

提出的方法

• 该方法采用概率无网格方法求解PDE，将解表示为函数上的概率分布。
• 离散化误差被建模为认知不确定性，通过贝叶斯推断在反问题中传播。
• PDE的数值解被视为一个随机场，从而在前向模型中实现不确定性量化。
• 通过增加后验方差来保守处理求解器失败，反映对数值结果信心的降低。
• 将PDE求解器的选择形式化为贝叶斯实验设计问题，以最小化后验不确定性。
• 通过引入非线性观测模型和自适应求解策略，将该框架扩展至非线性PDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在贝叶斯反问题中系统地量化和传播数值PDE解的离散化误差？
• RQ2 建模求解器不确定性在反问题中如何提升对数值求解器失效的鲁棒性？
• RQ3 如何优化PDE求解器的选择，以最小化离散化误差对统计推断的影响？
• RQ4 概率无网格方法能否在反问题设置中为非线性PDE提供可靠的不确定性量化？
• RQ5 将PDE解视为随机变量在多大程度上提升了参数推断中统计结论的有效性？

主要发现

• 概率无网格方法成功地在贝叶斯反问题中量化并传播了离散化误差，从而得到更可靠的不确定性估计。
• 当离散化误差较高时，统计推断变得更加保守，反映出因求解器失效或不准确而带来的额外不确定性。
• 即使PDE求解器不可靠，该框架也能实现稳健的推断，通过调整后验分布来反映数值不确定性。
• 通过贝叶斯实验设计优化求解器选择，有效降低了离散化误差对后验推断的影响。
• 当离散化误差不可忽略时，该方法在参数推断中保持了统计有效性，而经典方法在该情况下可能失效。
• 该方法可扩展至非线性PDE，在存在显著数值不确定性的复杂反问题中展现出其通用性。