[论文解读] Probabilistic normed spaces with non necessarily continuous triangle functions

Bernardo Lafuerza–Guillén, José L. Rodrı́guez|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2004

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用 1

一句话总结

本文将广义Serstnev概率范数空间（pre-PN空间）的结果扩展至非连续三角函数的情形，建立了模糊范数空间与Serstnev PN空间之间的联系，并证明了拓扑向量PN空间具有F-范数化与伪范数化性质，局部凸情形下为可生成空间，从而可通过有界集表征连续线性算子。

ABSTRACT

The motivation of this paper is a suggestion by Hole of comparing the notions of $\D$-boundedness and boundedness in Probabilistic Normed spaces (briefly PN spaces), with non necessarily continuous triangle functions. Such spaces are here called ``pre-PN spaces''. Some results on Serstnev spaces due to B. Lafuerza, J. A. Rodriguez, and C. Sempi, are here extended to generalized Serstnev spaces (these are pre-PN spaces satisfying a more general Serstnev condition). We also prove some facts on PN spaces (with continuous triangle functions). First, a connection between fuzzy normed spaces defined by Felbin and certain Serstnev PN spaces is established. We further observe that topological vector PN spaces are $F$-normable and paranormable, and also that locally convex topological vector PN spaces are bornological. This last fact allows to describe continuous linear operators between certain generalized Serstnev spaces in terms of bounded subsets.

研究动机与目标

• 研究在非连续三角函数的pre-PN空间中，D-有界性与有界性之间的关系。
• 通过放宽三角函数的连续性要求，将Serstnev空间推广，引入广义Serstnev pre-PN空间。
• 建立Felbin模糊范数空间与特定类型Serstnev PN空间之间的联系。
• 分析PN空间的拓扑性质，特别是F-范数化、伪范数化以及局部凸情形下的可生成性。
• 通过可生成结构，利用有界子集表征广义Serstnev空间之间连续线性算子的性质。

提出的方法

• 引入pre-PN空间作为不强制要求三角函数连续的概率范数空间。
• 将Serstnev条件推广至适用于非连续三角函数的广义形式。
• 运用泛函分析技术，证明拓扑向量PN空间的F-范数化与伪范数化性质。
• 将可生成性质应用于局部凸拓扑向量PN空间，以表征连续线性算子。
• 通过概率范数构造，在Felbin模糊范数空间与特定Serstnev PN空间之间建立对应关系。
• 运用格理论与概率度量空间理论，分析广义PN空间中的有界性与连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非连续三角函数的pre-PN空间中，D-有界性与有界性之间有何关系？
• RQ2 是否可将Serstnev型PN空间推广至包含非连续三角函数的情形，同时保持关键结构性质？
• RQ3 Felbin模糊范数空间与Serstnev PN空间之间的精确关系为何？
• RQ4 在广义Serstnev条件下，拓扑向量PN空间是否具有F-范数化与伪范数化性质？
• RQ5 局部凸拓扑向量PN空间的可生成性质如何实现对连续线性算子的表征？

主要发现

• 拓扑向量PN空间具有F-范数化与伪范数化性质，将已知结果推广至非连续三角函数情形。
• 局部凸拓扑向量PN空间为可生成空间，从而可通过有界子集表征连续线性算子。
• 通过概率范数构造，建立了Felbin模糊范数空间与一类Serstnev PN空间之间的直接联系。
• 即使在三角函数不连续的情况下，广义Serstnev条件在pre-PN空间中依然成立，从而具有更广泛的应用性。
• 本文在广义框架下解决了pre-PN空间中D-有界性与有界性之间的关系。
• 局部凸PN空间中的可生成结构为利用有界集分析线性算子的连续性提供了拓扑工具。