[论文解读] Probabilistic Properties of Delay Differential Equations

Stephen R. Taylor|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 98被引用 7

一句话总结

本文通过将遍历理论和庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯算子推广至无限维函数空间，为时滞微分方程（DDEs）构建了一个概率框架。该研究引入了数值方法以模拟密度演化，并通过分形吸引域和长期混沌瞬态，提供了DDEs中瞬态混沌存在的证据，包括麦基-格拉斯方程。

ABSTRACT

Systems whose time evolutions are entirely deterministic can nevertheless be studied probabilistically, i.e. in terms of the evolution of probability distributions rather than individual trajectories. This approach is central to the dynamics of ensembles (statistical mechanics) and systems with uncertainty in the initial conditions. Delay differential equations (DDEs) are a particular class of deterministic systems, distinguished by an explicit dependence of the dynamics on past states. A probabilistic approach to DDEs is lacking. The main problems we consider in developing such an approach are (1) to characterize the evolution of probability distributions for DDEs, i.e. develop an analog of the Perron-Frobenius operator; (2) to characterize invariant probability distributions for DDEs; and (3) to develop a framework for the application of ergodic theory to delay equations, with a view to a probabilistic understanding of DDEs whose time evolutions are chaotic. We develop a variety of approaches to each of these problems, employing both analytical and numerical methods. In transient chaos, a system evolves erratically during a transient period that is followed by asymptotically regular behavior. Transient chaos in delay equations has not been reported or investigated before. We find numerical evidence of transient chaos (fractal basins of attraction and long chaotic transients) in some DDEs, including the Mackey-Glass equation. Transient chaos in DDEs can be analyzed numerically using a modification of the "stagger-and-step" algorithm applied to a discretized version of the DDE.

研究动机与目标

• 为确定性时滞微分方程（DDEs）建立一个概率框架，扩展遍历理论和庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯算子的概念。
• 刻画DDEs中概率分布的演化，解决无限维相空间中缺乏标准庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯算子的问题。
• 研究DDEs的不变和渐近概率分布，特别是在混沌区域中的表现。
• 开发用于模拟DDEs中密度演化和检测不变测度的数值方法。
• 通过改进的数值算法，探索DDEs中瞬态混沌的存在性，包括分形吸引域和长期混沌瞬态。

提出的方法

• 通过在无限维相空间 $ C $ 上使用特征线法，将庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯算子适配于DDEs，建立密度演化方程。
• 采用改进的“交错-步进”算法以数值模拟轨迹，并避免在鞍型周期轨道附近出现失败。
• 应用乌拉姆方法以近似马尔可夫算子并计算对应于不变密度的不动点。
• 通过集合模拟经验估计渐近密度，检测吸引子和SRB测度的存在。
• 采用近似庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯算子的连续时间形式，以建模随时间的密度演化。
• 通过在吸引子点上应用数值基底寻找程序（如Gram-Schmidt方法），研究DDEs中惯性流形的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯算子推广，以描述时滞微分方程中概率密度的演化？
• RQ2 在DDEs中，不变概率测度存在的条件是什么？如何实现其数值逼近？
• RQ3 是否可以在DDEs中观测并量化瞬态混沌（以分形吸引域和长期混沌瞬态为特征）？
• RQ4 在DDEs中存在鞍型周期轨道时，‘交错-步进’算法等数值方法表现如何？
• RQ5 具有混沌动力学的DDEs是否具有有限维惯性流形，从而可简化其遍历分析？

主要发现

• 在麦基-格拉斯方程中发现了瞬态混沌的数值证据，包括分形吸引域和长期混沌瞬态。
• 改进的交错-步进算法成功避免了在鞍型周期轨道附近的数值失败，实现了混沌瞬态的可靠模拟。
• 通过集合模拟估计了混沌DDEs的渐近密度，显示出吸引子和SRB测度的证据。
• 通过乌拉姆方法计算的近似马尔可夫算子的不动点收敛于不变密度，支持了物理测度存在的证据。
• 在吸引子轨迹上进行的数值基底寻找未能识别出有限基底，表明所研究的DDEs中不存在平坦的惯性流形。
• 所研究DDEs中混沌鞍点似乎仅具有一个不稳定方向，表明经过适当修改后PIM方法可能具有适用性。