[论文解读] Probabilistic solvers for partial differential equations

Ilias Bilionis|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于在任意几何体上求解具有混合狄利克雷与诺伊曼边界条件的线性偏微分方程（PDE）的概率数值方法，通过将解视为高斯过程，并基于离散的PDE和边界条件评估对其进行条件化。其主要贡献是一个框架，能够通过贝叶斯推断从离散化中量化认识论不确定性，生成后验分布，其中包含捕捉离散化误差的预测区间。

ABSTRACT

This work is concerned with the quantification of the epistemic uncertainties induced the discretization of partial differential equations. Following the paradigm of probabilistic numerics, we quantify this uncertainty probabilistically. Namely, we develop a probabilistic solver suitable for linear partial differential equations (PDE) with mixed (Dirichlet and Neumann) boundary conditions defined on arbitrary geometries. The idea is to assign a probability measure on the space of solutions of the PDE and then condition this measure by enforcing that the PDE and the boundary conditions are satisfied at a finite set of spatial locations. The resulting posterior probability measure quantifies our state of knowledge about the solution of the problem given this finite discretization.

研究动机与目标

• 开发一种概率数值方法，以在原则上量化线性PDE空间离散化产生的认识论不确定性。
• 将概率数值方法扩展至具有混合边界条件的任意区域上的一般线性PDE。
• 提供一个贝叶斯框架，将解视为随机场，并基于观测到的PDE和边界条件约束对其进行条件化。
• 实现能够感知不确定性的PDE求解器，以支持需要误差估计、自适应优化或对子任务失败具有鲁棒性的应用场景。

提出的方法

• 为解空间分配一个零均值高斯过程先验，使用用户指定的协方差函数，以编码关于平滑性和长度尺度的先验信念。
• 使用贝叶斯法则，基于在有限个空间点上对PDE和边界条件的离散评估，对先验进行条件化。
• 在微分算子为线性且先验为高斯分布的假设下，推导出解空间上的后验分布，该后验分布具有解析可解性。
• 通过稠密协方差矩阵求逆计算后验均值和后验方差，其中对超参数（如长度尺度ℓ和噪声方差）最大化似然函数。
• 将后验方差用作离散化误差的预测度量，95%可信区间可捕捉真实解。
• 通过最大化观测到的PDE和边界条件约束的边际似然，对超参数（如长度尺度ℓ）进行优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在原则性的贝叶斯框架中量化PDE离散化带来的认识论不确定性？
• RQ2 能否在不依赖基函数的前提下，为具有混合边界条件的任意几何体上的线性PDE构建概率求解器？
• RQ3 在实际PDE问题中，解的后验方差与真实离散化误差之间有何关系？
• RQ4 先验协方差结构与超参数选择对求解器的准确性与不确定性校准有何影响？
• RQ5 该方法能否在复杂域中支持自适应优化与误差估计？

主要发现

• 该方法在所有测试案例中成功生成了解的后验分布，且真实解位于95%可信区间内，证明了其不确定性量化的可靠性。
• 在1D泊松问题中，后验均值与有限差分解高度一致，预测的不确定性区间准确捕捉了离散化误差。
• 在具有已知精确解的2D圆盘问题中，后验方差以高保真度预测了实际绝对误差，如等高线对比所示。
• 对于单位圆盘上16个内部点和5个边界点的情况，最优长度尺度ℓ被确定为3.5，使观测约束的似然最大化。
• 在非规则形状区域中，当内部点数量从34增加到61时，预测的离散化误差减小，ℓ从0.18降低至0.12，表明分辨率提升。
• 在真实解未知的问题中，该方法表现出鲁棒性，后验方差即使在缺乏真实解的情况下仍提供了可靠的置信度度量。