[论文解读] Probabilistic Weighted Automata

Krishnendu Chatterjee, Laurent Doyen+1 more|ArXiv.org|Sep 9, 2009

Formal Methods in Verification参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文引入了概率加权自动机这一模型，该模型结合了概率转移与定量语义，用于定义对无限字赋予实数值的语言。该文建立了在几乎必然和正性语义下关键决策问题的可判定性与封闭性性质，表明概率机制为LimSup、LimInf和极限平均赋予了新的表达能力，而对于折扣和而言则等价于非确定性。主要贡献在于对该新框架下表达能力、封闭性与可判定性的全面分析。

ABSTRACT

Nondeterministic weighted automata are finite automata with numerical weights on transitions. They define quantitative languages L that assign to each word w a real number L(w). The value of an infinite word w is computed as the maximal value of all runs over w, and the value of a run as the maximum, limsup, liminf, limit average, or discounted sum of the transition weights. We introduce probabilistic weighted automata, in which the transitions are chosen in a randomized (rather than nondeterministic) fashion. Under almost-sure semantics (resp. positive semantics), the value of a word w is the largest real v such that the runs over w have value at least v with probability 1 (resp. positive probability). We study the classical questions of automata theory for probabilistic weighted automata: emptiness and universality, expressiveness, and closure under various operations on languages. For quantitative languages, emptiness and universality are defined as whether the value of some (resp. every) word exceeds a given threshold. We prove some of these questions to be decidable, and others undecidable. Regarding expressive power, we show that probabilities allow us to define a wide variety of new classes of quantitative languages, except for discounted-sum automata, where probabilistic choice is no more expressive than nondeterminism. Finally, we give an almost complete picture of the closure of various classes of probabilistic weighted automata for the following pointwise operations on quantitative languages: max, min, sum, and numerical complement.

研究动机与目标

• 引入并形式化概率加权自动机作为无限字上定量语言的模型。
• 研究概率选择相较于非确定性与确定性对应物的表达能力。
• 分析在逐点运算（如max、min、sum与数值补集）下的封闭性性质。
• 确定在不同值语义下基本问题（如空性与普遍性）的可判定性状态。
• 将概率自动机与现有模型进行比较，尤其在折扣和与极限平均目标的背景下。

提出的方法

• 定义具有转移概率且基于几乎必然与正性语义的定量语义的概率加权自动机。
• 将无限字的值形式化为以概率1实现的值的上确界（几乎必然语义）或以正概率实现的值的上确界（正性语义）。
• 利用马尔可夫链的可达性与常返性性质分析概率行为，并推导出表达能力结果。
• 将决策问题约化为自动机理论中已知的可判定问题，如具有Sup、LimSup与LimInf目标的确定性自动机的空性问题。
• 通过构建自动机的同步积来证明在求和运算下的封闭性，尤其针对PosDisc与AsDisc。
• 利用随机博弈与自动机理论的结果，证明空性与普遍性问题的可判定性或不可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 概率加权自动机是否能表达非确定性自动机在LimSup、LimInf与极限平均语义下无法表达的新一类定量语言？
• RQ2 在几乎必然与正性语义下，各种值函数的空性问题在概率加权自动机上是否可判定？
• RQ3 由概率自动机定义的语言类在max、min、sum与补集等逐点运算下是否封闭？
• RQ4 相较于非确定性或通用分支，概率选择是否增强了折扣和自动机的表达能力？
• RQ5 概率自动机与现有模型（如概率Büchi与co-Büchi自动机）之间存在何种关系？

主要发现

• PosSup与AsSup的空性与普遍性问题是可判定的，可约化为确定性Sup-自动机的空性问题。
• PosLimSup的空性问题与AsLimSup的普遍性问题是不可判定的，确立了可判定性的清晰边界。
• AsLimInf的空性问题与PosLimSup的普遍性问题是可判定的，其证明依赖于安全目标与可达性目标的分解。
• PosDisc的空性问题与AsDisc的普遍性问题是可判定的，其约化基于非确定性折扣自动机中已知的可判定问题。
• 在正性语义下，概率自动机与非确定性自动机在折扣和上具有相同的表达能力，但在LimSup、LimInf与极限平均上则不同。
• PosLimAvg在求和运算下的封闭性仍为开放问题，而PosDisc与AsDisc通过同步积构造在求和运算下是封闭的。