[论文解读] Probability Distribution of Velocity Circulation in Three Dimensional Turbulence

Alexander Migdal|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文提出了一种三维湍流的统计场论，推导出描述大环路周围速度环流的欧拉方程中克莱布希瞬子的显式解析解。结果表明，环流的概率密度函数（PDF）由无限多个指数项组成，其与直接数值模拟（DNS）数据的拟合决定系数 R² > 0.9999，覆盖六个数量级，且能以高精度解释环流矩随环路面积的标度关系。

ABSTRACT

We elaborate the statistical field theory of Turbulence suggested in the previous paper \cite{M20a}. We clarify and simplify the basic Energy pumping equation of that theory and study mathematical properties of singular field configuration (instanton) which determine the tails of PDF for the velocity circulation around large loop $C$ in isotropic turbulence at highest Reynolds numbers. Explicit analytic solution is found for the Clebsch instanton in an Euler equation for a planar loop circulation problem. This solution for vorticity is has a term proportional to a delta function in normal direction to the minimal surface bounded by the loop. The smoothing of $δ$ functions in the vorticity in the full Navier-Stokes equations is investigated and exponential profile of smoothed singularity is found. The PDF for circulation is now an infinite sum of decreasing exponential terms $\EXP{- n |w|}\sqrt{\frac{n}{|w|}}$, with $ w = \fracΓ{Γ_0[C]}$, and $ Γ_0[C] \sim \sqrt{A_C} $ with minimal area $A_C$. The leading term fits with adjusted $R^2 = 0.9999$ the PDF tail found in DNS over more than six orders of magnitude. The area dependence of the ratio of the circulation moments $M_8/M_6$ fits with adjusted $R^2=0.9996$ the DNS in inertial range of square loop sizes from $100 $ to $500$ Kolmogorov scales. Thus, our theory explains DNS with high degree or confidence. For a flat loop we derive two-dimensional integral equation for the dependence of the scale $Γ_0[C] $ of circulation as a function of the shape of the loop (aspect ratio for rectangular loop

研究动机与目标

• 澄清并简化先前工作中提出的湍流统计场论中的能量泵浦方程。
• 研究在高雷诺数下各向同性湍流中控制环流PDF重尾的奇异场构型（瞬子）的数学结构。
• 推导平面环路环流问题中克莱布希瞬子的显式解析解，该问题由欧拉方程控制。
• 研究在纳维-斯托克斯方程下涡度中狄拉克函数奇点的正则化过程及其对环流PDF的影响。
• 在广泛范围的环路尺寸和雷诺数下，将理论预测的环流PDF及矩的标度关系与直接数值模拟（DNS）数据进行验证。

提出的方法

• 在湍流统计场论框架内形式化能量泵浦方程，简化其结构以利于解析处理。
• 求解平面环路环流问题的欧拉方程，获得克莱布希瞬子的显式解析解，其特征为在环路所围最小曲面法向方向具有狄拉克函数奇点的涡度场。
• 分析全纳维-斯托克斯方程中狄拉克函数奇点的平滑过程，揭示正则化奇点呈现指数分布特征。
• 推导出环流PDF为一系列递减指数项的无限和：$\exp(-n|w|)\sqrt{n/|w|}$，其中 $w = \Gamma / \Gamma_0[C]$，且 $\Gamma_0[C] \sim \sqrt{A_C}$，$A_C$ 为最小曲面面积。
• 推导出一个二维积分方程，用于确定 $\Gamma_0[C]$ 作为环路形状的函数，特别针对矩形环路通过纵横比依赖关系进行分析。
• 将理论预测的PDF尾部及环流矩比值 $M_8/M_6$ 与不同环路尺寸（100至500 Kolmogorov尺度）下的DNS数据进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维各向同性湍流中，控制环流PDF尾部的瞬子解具有怎样的解析结构？
• RQ2 欧拉方程解中涡度的狄拉克函数奇点在纳维-斯托克斯框架下如何被正则化？
• RQ3 瞬子理论预测的环流PDF具有何种函数形式？与DNS数据相比如何？
• RQ4 理论对环流矩比值（如 $M_8/M_6$）随环路尺寸在惯性区内的标度关系预测精度如何？
• RQ5 环流特征尺度 $\Gamma_0[C]$ 如何依赖于环路形状，特别是对不同纵横比的矩形环路？

主要发现

• 在平面环路环流问题中，成功推导出克莱布希瞬子的显式解析解，其特征为在环路所围最小曲面法向方向具有狄拉克函数奇点的涡度场。
• 在纳维-斯托克斯方程中，狄拉克函数奇点的平滑过程产生指数分布，该特性构成了环流PDF函数形式的基础。
• 环流PDF被发现为一系列递减指数项的无限和：$\exp(-n|w|)\sqrt{n/|w|}$，其中 $w = \Gamma / \Gamma_0[C]$ 且 $\Gamma_0[C] \sim \sqrt{A_C}$，$A_C$ 为最小曲面面积。
• PDF尾部的主导项在超过六个数量级范围内与DNS数据高度吻合，决定系数 $R^2 = 0.9999$，表明理论与模拟结果极为一致。
• 理论预测的环流矩比值 $M_8/M_6$ 在惯性区（100–500 Kolmogorov尺度）内与正方形环路的DNS数据拟合良好，决定系数 $R^2 = 0.9996$，证实理论具有极强的预测能力。
• 对于扁平环路，推导出一个二维积分方程，用于确定 $\Gamma_0[C]$ 作为环路形状的函数，从而可研究矩形环路中纵横比的依赖关系。