[论文解读] Probability-free pricing of adjusted American lookbacks

A. P. Dawid, Steven de Rooij+6 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种无需概率假设的方法，仅基于标的资产价格路径对调整后的美式敲出期权进行定价与对冲，无需假设随机模型或市场完备性。关键结果是，对冲此类期权所需的最小初始资本由 $ X_0 \int_{X_0}^\infty G(x) x^{-2} \, dx $ 给出，该表达式自然源自博弈概率理论，并对应于由最大价格过程导出的风险中性测度下的期望值。

ABSTRACT

Consider an American option that pays G(X^*_t) when exercised at time t, where G is a positive increasing function, X^*_t := \sup_{s\le t}X_s, and X_s is the price of the underlying security at time s. Assuming zero interest rates, we show that the seller of this option can hedge his position by trading in the underlying security if he begins with initial capital X_0\int_{X_0}^{\infty}G(x)x^{-2}dx (and this is the smallest initial capital that allows him to hedge his position). This leads to strategies for trading that are always competitive both with a given strategy's current performance and, to a somewhat lesser degree, with its best performance so far. It also leads to methods of statistical testing that avoid sacrificing too much of the maximum statistical significance that they achieve in the course of accumulating data.

研究动机与目标

• 开发一种无需概率假设或依赖其他衍生品的美式敲出期权定价与对冲方法。
• 确定在不考虑价格路径演化的情况下，卖方为完全对冲期权收益 $ G(X_t^*) $ 所需的最小初始资本。
• 表征可接受的敲出调整函数（ALAs）与简单敲出调整函数（ASLAs），以确保资本始终超过期权收益。
• 建立此类期权上界价格与由最大价格过程导出的风险中性测度之间的联系。

提出的方法

• 该方法利用博弈概率理论推导上界价格，而无需在价格路径上假设概率测度。
• 定义敲出调整函数（LA）为函数 $ F(X_t^*, X_t) $，其可被初始资本为1的交易策略所支配。
• 可接受的敲出调整函数（ALA）是满足积分条件 $ \int_1^\infty \frac{F(y)}{y^2} dy = 1 $ 的最小此类函数，且该条件取等号。
• 对于仅依赖于 $ X_t^* $ 的简单期权，上界价格被证明为 $ X_0 \int_{X_0}^\infty G(x) x^{-2} dx $，该结果通过归一化与缩放推导得出。
• 该方法识别出一个自然的风险中性测度 $ Q_{X_0} $，其在 $ [X_0, \infty) $ 上的密度为 $ X_0 x^{-2} $，在此测度下，上界价格即为 $ G(x) $ 的期望值。
• 脊函数 $ F^= $，由测度与调整函数导出，通过 $ F^=(X) = F(X) + X P((X,\infty]) $ 完全表征了 ALAs。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无概率假设下，对冲支付 $ G(X_t^*) $ 的美式敲出期权所需的最小初始资本是多少？
• RQ2 如何表征那些可被单位资本起始的交易策略所支配的函数 $ F $ 的集合？
• RQ3 何种条件可确保敲出调整函数为可接受的（即在所有支配函数中最小）？
• RQ4 此类期权的上界价格与由最大价格过程导出的风险中性测度有何关系？
• RQ5 该定价公式能否推广至依赖于 $ X_t^* $ 与 $ X_t $ 的期权？与经典方法相比有何异同？

主要发现

• 对冲支付 $ G(X_t^*) $ 的美式敲出期权所需的最小初始资本为 $ X_0 \int_{X_0}^\infty G(x) x^{-2} dx $，且该资本是确保在任何价格路径下均能对冲的最小值。
• 当且仅当 $ \int_1^\infty \frac{F(y)}{y^2} dy = 1 $ 时，函数 $ F $ 为可接受的简单敲出调整函数（ASLA），且该积分条件取等号。
• 期权的上界价格对应于测度 $ Q_{X_0} $ 下 $ G(x) $ 的期望值，该测度在 $ [X_0, \infty) $ 上的密度为 $ X_0 x^{-2} $，并自然源自博弈概率框架。
• 对于特定例子如 $ F(y) = \alpha y^{1-\alpha} $，对应的 ALA 通过脊函数 $ F^=(X) = X^{1-\alpha} $ 推导得出，且测度 $ P $ 在 $ (1,\infty) $ 上的密度为 $ \alpha(1-\alpha)y^{-1-\alpha} $。
• 脊函数 $ F^= $，定义为 $ F(X) + X P((X,\infty]) $，完全表征了 ALAs，并满足 $ F^=(X) = (1+\alpha)^\alpha X \ln^{-\alpha}X $ 对于 $ X \geq e^{1+\alpha} $ 的对数情形。
• 该框架可推广至依赖于 $ X_t^* $ 与 $ X_t $ 的期权，其中 ALAs 通过测度混合 $ P_c = (1-c)P + c\delta_\infty $ 构造，从而得到资本过程的显式表达式。