[论文解读] Probability inequalities for high dimensional time series under a triangular array framework

Fang Han, Weibiao Wu|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2019

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文在三角阵列框架下建立了高维时间序列的非渐近概率不等式，表明当模型依赖于样本量时，经典的混合条件（如β-混合）可能无法衰减至零。论文推导了高斯过程β-混合系数的下界，证明其仅在维度d固定时才呈指数衰减，揭示了将教科书混合结果应用于高维场景时的风险。

ABSTRACT

Study of time series data often involves measuring the strength of temporal dependence, on which statistical properties like consistency and central limit theorem are built. Historically, various dependence measures have been proposed. In this note, we first survey some of the most well-used dependence measures as well as various probability and moment inequalities built upon them under a high-dimensional triangular array time series setting. We then argue that this triangular array setting will pose substantially new challenges to the verification of some dependence conditions. In particular, ``textbook results" could now be misleading, and hence are recommended to be used with caution.

研究动机与目标

• 在三角阵列框架下检验经典混合条件在高维时间序列中的有效性。
• 识别为何当模型依赖于样本量n时，教科书中的混合系数结果可能具有误导性。
• 推导高斯过程在高维情形下β-混合系数的非渐近下界。
• 阐明弱依赖度量（如ψ-混合与函数依赖）在高维、非平稳设定下的局限性。
• 证明当依赖结构随n演化时，标准混合系数衰减假设可能失效。

提出的方法

• 采用三角阵列框架，其中时间序列模型{X_{t,n}}依赖于样本量n，引入时变依赖结构。
• 应用关于二元高斯向量的α-、ρ-和β-混合系数之间已知不等式，特别是α ≤ ρ ≤ 2πα。
• 推导边际α-混合系数的下界：α(σ(X_{0,1}), σ(X_{m,1})) ≥ κ^m / (2π)，基于相关性衰减。
• 构造指示变量V_j = 1_{X_{0,j} ∈ G}，W_j = 1_{X_{m,j} ∈ H}，以表示联合概率偏差η ≥ κ^m / (3π)。
• 将霍夫丁不等式应用于经验均值(1/d)∑V_jW_j，以界定其偏离联合测度的概率。
• 利用β-混合的定义（即联合测度与乘积测度之间的总变差距离），推导出β(σ(X_0), σ(X_m)) ≥ 1 - 2exp(-dκ^{2m}/(18π²))。

实验结果

研究问题

• RQ1 在依赖于样本量n的高维时间序列中，是否可以安全地应用经典β-混合系数衰减结果？
• RQ2 在三角阵列设定下，高斯过程的β-混合系数是否存在非渐近界？
• RQ3 在高维、非平稳时间序列中，α、ρ与β-混合系数之间的关系如何表现？
• RQ4 当底层模型随n变化时，弱依赖度量（如ψ-混合）的有效性在多大程度上仍成立？
• RQ5 为何教科书中的混合系数结果在模型依赖于n的高维设定中会失效？

主要发现

• β-混合系数β(σ(X_0), σ(X_m))的下界为1 - 2exp(-dκ^{2m}/(18π²))，表明其仅在d固定时才不衰减至零。
• 边际α-混合系数满足α(σ(X_{0,1}), σ(X_{m,1})) ≥ κ^m / (2π)，该结果基于一阶高斯过程的相关性衰减。
• ρ-混合系数等于绝对相关系数：ρ(σ(Z_1), σ(Z_2)) = |Corr(Z_1, Z_2)|，适用于二元高斯向量。
• β-混合的下界通过在各维度上对i.i.d.指示变量应用霍夫丁不等式推导得出，表明在高维d下仍存在非平凡依赖。
• 该结果意味着，在依赖结构随n变化的高维三角阵列设定中，经典渐近混合结果不可靠，其中衰减界中的C和γ依赖于n。
• 本文结论指出，在高维三角阵列设定下，β-混合系数可能不会收敛至零，除非进行非渐近分析，否则标准渐近理论将失效。