[论文解读] Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta function and Brownian excursions

Philippe Biane, Jim Pitman+1 more|ArXiv.org|Dec 21, 1999

Analytic Number Theory Research参考文献 42被引用 10

一句话总结

本文建立了黎曼ζ函数、雅可比θ函数以及独立指数随机变量之和所导出的概率分布之间的深刻联系。它展示了这些概率分布如何自然地出现在一维布朗运动和三阶以上 Bessel 过程的背景下，并提供了ζ函数的新积分表示形式，以及通过其拉普拉斯变换和首 hitting 时间对相关概率分布的表征。

ABSTRACT

This paper reviews known results which connect Riemann's integral representations of his zeta function, involving Jacobi's theta function and its derivatives, to some particular probability laws governing sums of independent exponential variables. These laws are related to one-dimensional Brownian motion and to higher dimensional Bessel processes. We present some characterizations of these probability laws, and some approximations of Riemann's zeta function which are related to these laws.

研究动机与目标

• 探索黎曼ζ函数积分表示的概率基础。
• 将雅可比θ函数的函数方程与独立同分布指数随机变量之和的分布联系起来。
• 通过ζ函数与θ函数的关系，表征布朗运动和 Bessel 过程中出现的概率分布。
• 利用概率方法推导黎曼ζ函数的新积分表示形式。
• 基于这些随机过程的渐近行为，提供ζ函数的近似表达式。

提出的方法

• 利用雅可比θ函数及其导数，推导黎曼ζ函数的积分表示形式。
• 分析布朗运动首次击中某一水平的首 hitting 时间分布，并将其与指数分布联系起来。
• 使用拉普拉斯变换表征独立同分布指数随机变量之和的概率分布。
• 应用θ函数的函数方程，推导相关概率密度的对称性质。
• 将这些分布与三阶及以上维数的 Bessel 过程联系起来，特别是通过其首 hitting 时间分布。
• 采用瑞利分布及其矩，对高维布朗运动的径向分量进行建模。

实验结果

研究问题

• RQ1 雅可比θ函数的函数方程如何与指数随机变量之和的分布相关联？
• RQ2 黎曼ζ函数积分表示的概率解释是什么？
• RQ3 布朗运动的首 hitting 时间如何与ζ函数和θ函数相联系？
• RQ4 布朗运动的局部时和过冲面积的精确分布是什么？它们如何与ζ函数值相关？
• RQ5 能否从这些随机过程的渐近行为中推导出黎曼ζ函数的新近似形式？

主要发现

• 标准布朗运动首次击中某一水平的首 hitting 时间的拉普拉斯变换，可表示为黎曼ζ函数的形式。
• 速率参数为1的独立同分布指数随机变量之和的分布，通过其特征函数与雅可比θ函数相关联。
• 三阶 Bessel 过程的首 hitting 时间分布，通过其拉普拉斯变换与ζ函数相关联。
• 本文利用θ函数及其导数，推导出黎曼ζ函数的新积分表示形式。
• 布朗运动过冲下方面积的分布，其拉普拉斯变换涉及ζ函数与θ函数。
• 利用θ函数的函数方程，推导出相关概率密度的对称性质，该性质反过来反映了ζ函数的函数方程。