[论文解读] Probability Measures and Effective Randomness

Jan Reimann, Theodore A. Slaman|ArXiv.org|Jul 10, 2007

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文研究了对于哪些实数 $x$ 存在概率测度 $μ$ 使得 $x$ 相对于 $μ$ 是随机的，表明每个非递归实数都具有这样的测度，并且对于几乎所有实数（除可数多个外），都存在连续测度使 $x$ 随机。关键结果将 $x$ 的逻辑复杂度与证明随机性存在的集合论强度联系起来，其中更高层级的算术随机性需要更多次连续统的幂集迭代。

ABSTRACT

We study the question, ``For which reals $x$ does there exist a measure $μ$ such that $x$ is random relative to $μ$?'' We show that for every nonrecursive $x$, there is a measure which makes $x$ random without concentrating on $x$. We give several conditions on $x$ equivalent to there being continuous measure which makes $x$ random. We show that for all but countably many reals $x$ these conditions apply, so there is a continuous measure which makes $x$ random. There is a meta-mathematical aspect of this investigation. As one requires higher arithmetic levels in the degree of randomness, one must make use of more iterates of the power set of the continuum to show that for all but countably many $x$'s there is a continuous $μ$ which makes $x$ random to that degree.

研究动机与目标

• 确定对于哪些实数 $x$ 存在概率测度 $\mu$，使得 $x$ 相对于 $\mu$ 是随机的，且 $μ$ 不集中在 $x$ 上。
• 刻画那些存在连续（非原子）测度 $μ$ 使得 $x$ 为 $μ$-随机的实数 $x$。
• 研究 $x$ 的随机性算术层级与证明此类测度对几乎所有 $x$ 存在所需的集合论强度之间的元数学联系。
• 分析博雷尔决定性与 $\omega$ 的幂集的迭代在证明每级非可计算随机实数集合的可数性中的作用。

提出的方法

• 使用相对于任意概率测度的马丁-洛夫随机性，通过一致测试和有效零测集来定义随机性。
• 应用库马贝-斯拉曼强迫，构造泛函实数 $G$，使得在 $L_{\beta_n}[G]$ 中，若 $x \notin L_{\beta_n}$，则 $x$ 相对于 $μ$ 是随机的。
• 利用博雷尔决定性和绝对性证明：若 $x$ 不在 $L_{\beta_n}$ 中，则 $x$ 相对于某个连续测度 $μ$ 是随机的。
• 在可构造宇宙 $L$ 中分析主码，证明若 $M_\alpha$ 相对于 $μ$ 是随机的，则 $M_\alpha$ 必须相对于 $μ$ 递归，从而导致矛盾。
• 通过 $\beta \leq \alpha$ 的归纳法证明所有主码 $M_\beta$ 相对于 $μ$ 是递归的，依赖于引理 5.6 和引理 5.7 作为归纳步骤。
• 利用博雷尔决定性证明 $\operatorname{NCR}_n$（$n$-随机实数的集合）是可数的，并表明 $\mathsf{ZFC}^{-}_k$ 无法对所有 $n$ 证明这一点。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些实数 $x$ 存在概率测度 $\mu$ 使得 $x$ 相对于 $\mu$ 是随机的？
• RQ2 在何种情况下存在连续（非原子）测度 $\mu$，使得 $\mu$ 不集中在 $x$ 上，且 $x$ 为 $\mu$-随机？
• RQ3 $x$ 的逻辑复杂度与证明存在连续测度使 $x$ 随机所需的集合论强度（例如 $\mathcal{P}(\omega)$ 的迭代次数）之间有何联系？
• RQ4 为何博雷尔决定性在证明 $\operatorname{NCR}_n$ 的可数性中是必不可少的？其集合论代价是什么？
• RQ5 $\mathsf{ZFC}^{-}_k$ 能否证明对所有 $n$，$\operatorname{NCR}_n$ 是可数的？

主要发现

• 对于每个非递归实数 $x$，都存在概率测度 $μ$ 使得 $x$ 相对于 $μ$ 是随机的，且 $μ$ 不集中在 $x$ 上。
• 对于除可数多个外的所有实数 $x$，都存在连续测度 $μ$ 使得 $x$ 为 $μ$-随机。
• $n$-随机实数的集合 $\operatorname{NCR}_n$ 是可数的，而这一事实需要博雷尔决定性的全部强度，且该强度在任何固定的 $k$ 下都无法在 $\mathsf{ZFC}^{-}_k$ 中证明。
• 证明 $\operatorname{NCR}_n$ 的可数性依赖于通过库马贝-斯拉曼强迫构造泛函实数 $G$，使得在 $L_{\beta_n}[G]$ 中 $x$ 相对于 $μ$ 成为随机的。
• 若 $x$ 不在 $L_{\beta_n}$ 中，则 $x$ 相对于某个连续测度 $μ$ 是随机的，该结论通过基于博雷尔决定性的锥论证得出。
• 在 $L_{\beta_k}$ 中，主码 $M_\alpha$ 无法存在连续测度使 $x$ 随机，因为若其随机，则必相对于 $μ$ 递归，与随机性矛盾。