[论文解读] Probability measures related to geodesics in the space of Kähler metrics

Bo Berndtsson|ArXiv.org|Jul 10, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 25

一句话总结

该论文建立了有限维赫米特范数空间中测地线相关概率测度在趋于无穷维凯勒度量空间时的弱收敛性。通过分析测地线切向量的谱测度，证明了当逼近参数 $k \to \infty$ 时，这些测度的矩收敛，从而通过矩收敛恢复了已知的测地线距离结果与唐纳森的 $Z$-泛函结果。

ABSTRACT

We associate certain probability measures on $\R$ to geodesics in the space $\H_L$ of positively curved metrics on a line bundle $L$, and to geodesics in the finite dimensional symmetric space of hermitian norms on $H^0(X, kL)$. We prove that the measures associated to the finite dimensional spaces converge weakly to the measures related to geodesics in $\H_L$ as $k$ goes to infinity. The convergence of second order moments implies a recent result of Chen and Sun on geodesic distances in the respective spaces, while the convergence of first order moments gives convergence of Donaldson's $Z$-functional to the Aubin-Yau energy. We also include a result on approximation of infinite dimensional geodesics by Bergman kernels which generalizes work of Phong and Sturm.

研究动机与目标

• 为线丛 $L$ 上正曲率度量空间 $\mathcal{H}_L$ 中的测地线关联 $\mathbb{R}$ 上的概率测度。
• 在 $H^0(X,kL)$ 上赫米特范数的有限维对称空间 $\mathcal{H}_k$ 上定义相应的测度。
• 证明当 $k \to \infty$ 时，$\mathcal{H}_k$ 上的谱测度弱收敛于 $\mathcal{H}_L$ 上的谱测度。
• 证明矩收敛可推出测地线距离与唐纳森 $Z$-泛函的已知结果。

提出的方法

• 定义 $k^{-1}A_k$ 的归一化谱测度 $\nu_k$，其中 $A_k$ 是 $\mathcal{H}_k$ 中测地线的切向量。
• 将 $\nu_k$ 的二阶矩与 $\mathcal{H}_k$ 中点之间的归一化测地线距离联系起来。
• 通过蒙日-安培方程 $(i\partial\bar\partial\phi^t)^{n+1} = 0$ 定义 $\mathcal{H}_L$ 中的无穷维测地线 $\phi^t$。
• 利用与测地线相关的算子 $T_{k,\xi}$ 的谱数据，在 $\mathbb{R}$ 上构造相应的概率测度。
• 使用伯格曼核渐近展开与霍尔曼 $L^2$ 估计，比较 $B_{t,k}$ 与 $B_{\phi^t,k}$，证明一致逼近。
• 通过矩收敛，利用托普利茨算子渐近与谱摄动理论，建立谱测度的弱收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k \to \infty$ 时，有限维空间 $\mathcal{H}_k$ 中测地线相关概率测度是否收敛于无穷维空间 $\mathcal{H}_L$ 中的对应测度？
• RQ2 这些测度的二阶矩收敛是否可恢复陈与孙关于测地线距离收敛的结果？
• RQ3 一阶矩的收敛是否意味着唐纳森的 $Z$-泛函收敛于 Aubin-Yau 能量泛函？
• RQ4 在 $k$ 充分大时，伯格曼核如何逼近 $\mathcal{H}_L$ 中的测地线？
• RQ5 与测地线相关的托普利茨算子谱测度的渐近行为如何？

主要发现

• 当 $k \to \infty$ 时，与 $\mathcal{H}_k$ 中测地线相关的概率测度 $\nu_k$ 弱收敛于 $\mathcal{H}_L$ 中的对应测度。
• 测度 $\nu_k$ 的二阶矩收敛于 $\mathcal{H}_L$ 中归一化测地线距离的平方，从而恢复了陈与孙关于测地线距离收敛的结果。
• 测度 $\nu_k$ 的一阶矩收敛于归一化的唐纳森 $Z$-泛函，意味着其收敛于 Aubin-Yau 能量泛函。
• 与测地线相关的托普利茨算子 $T_{k,\xi}$ 的谱测度弱收敛于体积形式 $\omega^\phi_n/\mathrm{Vol}$ 在 $\xi$ 下的像，建立了关键的渐近谱结果。
• 与 $\mathcal{H}_k$ 中测地线相关的伯格曼核 $B_{t,k}$ 满足不等式 $|k^{-1}\log B_{t,k} - k^{-1}\tau - \phi^t| \leq Ck^{-1}\log k$，表明一致逼近。
• 证明依赖于通过曲率估计与伯格曼核的极值性质，将 $B_{t,k}$ 与 $B_{\phi^t,k}$ 进行比较，其中下界通过引理 4.1 对充分大的 $a$ 建立。