[论文解读] Probing the entanglement of operator growth

Dimitrios Patramanis|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2021

Molecular spectroscopy and chirality被引用 6

一句话总结

本文利用量子信息工具（如Krylov复杂度、纠缠negativity、冯诺依曼熵和纠缠容量）研究了具有SU(1,1)和SU(2)对称性的量子系统中的算符增长。通过采用双模相干态，作者展示了与普遍算符增长假说一致的普遍特征，表明基于对称性的方法可绕过Lanczos算法，显著简化计算，同时保留关键的动力学洞察。

ABSTRACT

In this work we probe the operator growth for systems with Lie symmetry using tools from quantum information. Namely, we investigate the Krylov complexity, entanglement negativity, von Neumann entropy and capacity of entanglement for systems with SU(1,1) and SU(2) symmetry. Our main tools are two-mode coherent states, whose properties allow us to study the operator growth and its entanglement structure for any system in a discrete series representation of the groups under consideration. Our results verify that the quantities of interest exhibit certain universal features in agreement with the universal operator growth hypothesis. Moreover, we illustrate the utility of this approach relying on symmetry as it significantly facilitates the calculation of quantities probing operator growth. In particular, we argue that the use of the Lanczos algorithm, which has been the most important tool in the study of operator growth so far, can be circumvented and all the essential information can be extracted directly from symmetry arguments.

研究动机与目标

• 研究具有李对称性的量子系统中算符增长的纠缠结构与动力学。
• 检验诸如Krylov复杂度和纠缠negativity等量子信息度量在具有SU(1,1)和SU(2)对称性的系统中是否表现出普遍行为。
• 证明基于对称性的方法（特别是使用双模相干态）可替代Lanczos算法以计算算符增长探测量。
• 在算符增长的背景下，建立共形场论构造与相干态表示之间的直接联系。

提出的方法

• 本研究采用双模相干态作为分析算符增长的基础，利用其在SU(1,1)和SU(2)群下的变换性质。
• 通过Krylov子空间中算符的时间演化计算Krylov复杂度，利用对称性自适应态避免显式Lanczos递推。
• 利用从相干态分解得到的约化密度矩阵评估纠缠negativity、冯诺依曼熵和纠缠容量。
• 作者使用共形场论技术，通过左手中性初级算符和模式展开构造SU(1,1)相干态。
• 应用位移算符 $ D(\xi) = e^{\xi L_{-1} - \bar{\xi}L_1} $ 作用于最高权态，生成具有已知模式系数的相干态。
• 所得态系数源自CFT两点函数，得到 $ \psi_n = (1 - |z|^2)^h z^n \binom{2h + n - 1}{2h - 1} $，与基于对称性的构造一致。

Figure 1: Krylov complexity for systems with SU(1,1) symmetry as a function of $r$ . The curves depicted are for $n_{0}=0,1,2,3,4,5$ . We observe that for bigger $n_{0}$ the exponential rise of the complexity starts sooner.

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有SU(1,1)和SU(2)对称性的系统中，诸如纠缠negativity和Krylov复杂度等量子信息探测量是否表现出普遍行为？
• RQ2 能否通过利用群对称性和相干态表示来绕过Lanczos算法以计算算符增长？
• RQ3 混沌系统（SU(1,1)）与可积系统（SU(2)）在纠缠结构和复杂度增长方面有何不同？
• RQ4 共形场论技术在多大程度上能够重构算符增长研究中使用的相同相干态结构？
• RQ5 双模相干态在编码算符演化过程中的完整纠缠与复杂度动力学中扮演何种角色？

主要发现

• Krylov复杂度、纠缠negativity、冯诺依曼熵和纠缠容量在SU(1,1)和SU(2)系统中均表现出与普遍算符增长假说一致的普遍特征。
• 使用双模相干态可直接计算所有关键算符增长探测量，而无需引入Lanczos算法，显著简化了计算过程。
• 对于SU(1,1)，源自CFT的相干态系数与基于对称性的构造一致，其中 $ \psi_n = (1 - |z|^2)^h z^n \binom{2h + n - 1}{2h - 1} $，证实了构造的一致性。
• 算符增长的纠缠结构对底层对称性敏感，SU(1,1)（混沌）系统表现出比SU(2)（可积）系统更快的增长速度和更高的纠缠度。
• 归一化因子 $ e^{ah} = (1 - |z|^2)^h $ 源自CFT两点函数，通过共形不变性验证了相干态构造的正确性。
• 结果证实，基于对称性的方法为探测算符动力学提供了一种强大且高效的替代方案，优于Lanczos等数值方法。

Figure 2: $\varphi_{n}$ as function of $n$ . The chosen parameters for this graph are $n_{0}=2$ and $r$ takes values from 1 to 2.6 in steps of 0.2. This is essentially the spreading of the wavefunction that was observed in earlier works.