[论文解读] Problems and Conjectures presented at the Third International Conference on Permutation Patterns, University of Florida, March 7-11, 2005

Murray Elder, Vince Vatter|ArXiv.org|May 24, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 15

一句话总结

本文整理了第三届国际排列模式会议中关于排列模式计数的开放问题与猜想。研究涵盖模式避免序列的P-递归性、Wilf-等价性、增长速率、堆栈排序及反链大小等问题，提出若干关键猜想，包括Zeilberger主张1324避免排列序列非P-递归，以及Vatter关于所有模式避免类均存在增长速率的猜想。

ABSTRACT

We recount problems, questions and conjectures that arose during a problem session of the Third International Conference on Permutation Patterns, University of Florida, March 7-11, 2005.

研究动机与目标

• 整理并传播第三届国际排列模式会议中排列模式理论的未解问题与猜想。
• 研究模式避免排列序列的P-递归性，特别是1324模式的情形。
• 探讨排列的Wilf-等价性及渐近避免序关系。
• 研究排列类的增长速率的存在性与性质。
• 考察堆栈排序算法及使用t个堆栈排序排列的复杂性。

提出的方法

• 使用生成函数与D-有限级数分析模式避免序列的P-递归性。
• 运用生成树与计算枚举方法计算如s_n(1324)等序列的项。
• 应用直和与斜合并构造方法构建具有特定性质的排列。
• 使用(t+1)个字母的码字建模t-堆栈可排序排列，并分析其计数的奇偶性。
• 利用Maple软件包WILFPLUS改进Av(1324)增长速率的下界。
• 运用组合与代数技巧研究反链及其增长速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 长度为n的1324避免排列数是否为P-递归？（Zeilberger猜想）
• RQ2 所有有限模式集合的避免类是否均具有明确定义的增长速率？（Vatter猜想）
• RQ3 当t ≥ 3时，长度为n的t-堆栈可排序排列数是否可能为奇数？若可能，其条件为何？（Bóna猜想）
• RQ4 是否存在一个有限基，用于描述由通用3-堆栈机可排序的排列类？（Atkinson问题）
• RQ5 通用3-堆栈排序机无法排序的最短排列长度是多少？（Waton与Elder的赌注）

主要发现

• Zeilberger猜想序列s_n(1324)非P-递归，并声称即使上帝也无法计算a_1000(1324)，暗示其可能非D-有限。
• 123避免的n的组合数猜想非P-递归，依据是其生成函数具有无穷多个奇点。
• 对于1-堆栈可排序排列，其计数为奇数当且仅当n = 2^k - 1，对应卡塔兰数。
• 对于2-堆栈可排序排列，其计数为奇数当且仅当n的二进制表示中无连续的1且以1结尾，且满足该条件的n ≤ 2^m的个数为第m个斐波那契数。
• 无法被通用2-堆栈机排序的最短排列长度为7，共有22个此类排列。
• Elder与Waton就3-堆栈机无法排序的最短排列长度进行赌注，Elder猜测为15，Waton则赌22。