[论文解读] Problems and results in Extremal Combinatorics -- IV

Noga Alon|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文在极值组合学中提出新结果，聚焦于高圈长图打包、编码理论与社会选择。研究建立了两个图打包时其并图保持高圈长的充分条件，推广了经典结果，并实现了高圈长有向扩展图的显式构造。

ABSTRACT

Extremal Combinatorics is among the most active topics in Discrete Mathematics, dealing with problems that are often motivated by questions in other areas, including Theoretical Computer Science and Information Theory. This paper contains a collection of problems and results in the area, including solutions or partial solutions to open problems suggested by various researchers. The topics considered here include questions in Extremal Graph Theory, Coding Theory and Social Choice. This is by no means a comprehensive survey of the area, and is merely a collection of problems, results and proofs, which are hopefully interesting. As the title of the paper suggests, this is a sequel of three previous papers of the same flavour. Each section of this paper is essentially self contained, and can be read separately.

研究动机与目标

• 研究在何种条件下可将两个图打包，使其并图保持高圈长，从而推广经典图打包定理。
• 通过在打包中引入度数与圈长约束，推广Erdős–Sachs关于高圈长正则图存在性的结果。
• 基于新打包条件，提供高圈长有向扩展图的显式构造方法。
• 解决支配集理论中的开放问题，特别是正则图中连通支配数与标准支配数之间的差距。
• 探讨极值组合学中图结构、圈长与度数约束之间的相互作用。

提出的方法

• 使用基于条件期望的势函数方法，迭代构造有界大小的支配集。
• 定义条件期望函数 $ \psi_i $，综合支配集的期望大小、未被支配的顶点数，以及逆度之和的凹函数。
• 应用期望的线性性，计算序列中每个顶点的条件期望，确保势函数单调递减。
• 利用函数 $ f $ 的凹性，确保选择使 $ \psi_{i+1} $ 最小的下一个顶点可使势函数递减，从而保证良好近似。
• 证明势函数的最终值被限制在 $ \frac{n}{k+1} (\ln(k+1) + 4) - 2 $ 以内，从而导出支配集大小的界。
• 将该方法应用于分析连通支配数与标准支配数之间的差异，证明其差值至多为 $ \frac{n}{k+1} (\ln \lceil \ln(k+1) \rceil + 3) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定最大度数与圈长的条件下，何时可将两个图打包，使得其并图具有高圈长？
• RQ2 Bollobás–Eldridge 图打包猜想能否扩展至在合并图中保持高圈长？
• RQ3 在 $ k $-正则连通图中，连通支配数与标准支配数之间的最大可能差距是多少？
• RQ4 如何利用极值图打包结果显式构造高圈长有向扩展图？
• RQ5 对于 $ k $-正则连通图，支配差距 $ \gamma_c(G) - \gamma(G) $ 的最紧上界是什么？

主要发现

• 本文证明：若图中 $ (d_1 + d_2) $-球在半径 $ k $ 内的大小小于 $ n $，则最大度数为 $ d_1, d_2 $ 且圈长至少为 $ g $ 的两个图可被打包，使得合并图的圈长至少为 $ \min\{g, k\} $。
• 当 $ d_1 + d_2 \geq 3 $ 固定时，满足大小条件的 $ k $ 的渐近值为 $ (1+o(1)) \frac{\log n}{\log(d_1 + d_2 - 1)} $，该值控制打包图的圈长。
• 该结果蕴含高圈长正则图的存在性，作为特例恢复了Erdős–Sachs定理。
• 从打包结果导出了高圈长有向扩展图的显式构造。
• 在 $ k $-正则连通图中，连通支配数与标准支配数之差至多为 $ \frac{n}{k+1} (\ln \lceil \ln(k+1) \rceil + 3) $，且至少为 $ \lfloor \frac{n}{k+1} \rfloor - 1 $，尚存 $ \ln \ln(k+1) $ 的差距待填补。
• 基于条件期望的算法所生成的支配集大小被限制在 $ \frac{n}{k+1} (\ln(k+1) + 4) - 2 $ 以内，改进了正则图中的近似保证。