[论文解读] Problems hard for treewidth but easy for stable gonality

Hans L. Bodlaender, Gunther Cornelissen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 2

一句话总结

本文证明了若干经典的NP难图问题——如无向流下界问题、最小最大出度问题和容量支配集问题——在以稳定类数（stable gonality）为参数时为固定参数可满足（FPT）。作者引入了一个新参数‘树宽度’（treebreadth），并结合动态规划与整数线性规划，实现了高效算法，表明原本在树宽参数化下困难的问题，在此新参数化下变得可解。

ABSTRACT

The Integer Multicommodity Flow problem has been studied extensively in the literature. However, from a parameterised perspective, mostly special cases, such as the Disjoint Path problem, have been considered. Therefore, we investigate the parameterised complexity of the general Integer Multicommodity Flow problem. We show that the decision version of this problem on directed graphs for a constant number of commodities, when the capacities are given in unary, is XNLP-complete with pathwidth as parameter and XALP-complete with treewidth as parameter. When the capacities are given in binary, the problem is NP-complete even for graphs of pathwidth at most 13. We give related results for undirected graphs. These results imply that the problem is unlikely to be fixed-parameter tractable by these parameters. In contrast, we show that the problem does become fixed-parameter tractable when weighted tree partition width (a variant of tree partition width for edge weighted graphs) is used as parameter.

研究动机与目标

• 识别在基于树宽的参数化下为不可解，但在稳定类数参数化下变为可解的图问题。
• 基于加权树划分与一种新参数‘树宽度’，构建新的算法框架。
• 证明稳定类数在某些容量型与流相关问题类别中，比树宽更具表达力。
• 基于稳定类数，为多图版本的Courcelle定理建立逻辑与结构基础。
• 通过识别在该参数化下仍保持困难的问题，探索稳定类数的极限。

提出的方法

• 引入并形式化‘树宽度’的概念，作为受Seese的树分图启发的加权树划分参数。
• 在基于树宽度结构的分解上使用动态规划，以高效求解问题。
• 通过变量数量有界的整数线性规划建模容量约束。
• 将XNLP-完全问题（如接受性非确定性检查计数机）归约，以证明树宽与路径宽下的困难性。
• 从多图到树构造图同态，以定义稳定类数，支持细化与调和边加权。
• 利用稳定类数的代数几何基础，设计对多图结构敏感的算法，而树宽仅依赖于底层简单图，因此不具此类敏感性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在树宽参数化下为XNLP难的问题，是否在稳定类数参数化下可变为FPT？
• RQ2 对于容量型与流相关图问题，稳定类数是否比树宽更有效？
• RQ3 ‘树宽度’概念能否用于设计多图问题的高效动态规划算法？
• RQ4 是否存在即使在稳定类数或树宽度参数化下仍保持困难的问题？
• RQ5 能否发展一种基于逻辑的、在稳定类数参数化下对FPT问题的刻画，类似于Courcelle定理？

主要发现

• 无向流下界问题在路径宽参数化下为XNLP完全，但在稳定类数参数化下变为FPT。
• 最小最大出度问题在树宽参数化下为W[1]-难，但在稳定类数参数化下为FPT。
• 容量（红-蓝）支配集问题，此前在树宽参数化下为W[1]-难，但在稳定类数参数化下变为FPT。
• 作者引入‘树宽度’作为新结构参数，使在图分解上实现高效动态规划成为可能。
• 使用变量数量有界的整数线性规划，可在新参数化框架下高效建模容量约束。
• 稳定类数对多图结构敏感，而树宽仅依赖于底层简单图，因此更适用于容量型问题。