[论文解读] Problems on Minkowski sums of convex lattice polytopes

Tadao Oda|ArXiv.org|Dec 8, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 31

一句话总结

本文研究凸格点多面体中格点集的闵可夫斯基和的相等性，特别是当 P′ = νP 且 ν ∈ Z>0 时。它将这一代数几何问题与toric簇的投影正规性联系起来，表明当 P 允许可逆单纯形剖分或相关除子为 nef 时，等式成立，其结果对 toric 嬪的上同调消去和典范乘法映射具有重要意义。

ABSTRACT

This paper was submitted to the Oberwolfach Conference "Combinatorial Convexity and Algebraic Geometry", October 1997. Let $M={\mathbb Z}^r$. For convex lattice polytopes $P,P'$ in ${\mathbb R}^r$, when is $(M \cap P)+ (M \cap P') = M \cap (P + P')$? Without any additional condition, the equality obviously does not hold. When the pair $(M,P)$ corresponds to a complex projective toric variety $X$ and an ample divisor $D$ on $X$, it is reasonable to assume that $P'$ corresponds to an ample (or, more generally, a nef) divisor $D'$ on the same $X$. Then the question correspons to the surjectivity of the canonical map \[ H^0(X,{\mathcal O}_X(D))\otimes H^0(X,{\mathcal O}_X(D')) o H^0(X,{\mathcal O}_X(D+D')).\] When $X$ is nonsingular, the map is hoped to be surjective, but this remains to be an open question after more than ten years. The paper explores various variations on the question in terms of toric geometry.

研究动机与目标

• 确定凸格点多面体 P 及其缩放版本 νP 的格点闵可夫斯基和是否等于 (ν+1)P 中的格点。
• 理解在何种几何与组合条件下，toric 嬪上线丛全局截面的典范乘法映射是满射。
• 研究与 nef 除子相关的 X×X 上扭曲理想层的上同调消去，特别是与对角子簇的关系。
• 将已知的关于可逆单纯形剖分与投影正规性的结果推广到更广泛的 toric 嬪类。
• 探讨除子的 nef 性对闵可夫斯基和结构及其相关上同调性质的影响。

提出的方法

• 利用 toric 几何，将凸格点多面体 P 与复数域上的投影 toric 嬲 X 及一个正则除子 D 关联起来。
• 将缩放多面体 νP 视为对应于除子 νD，而 P′ 作为 P 的面的平移，从而在 X 上诱导出一个新的除子 D′。
• 应用 K"unneth 公式，将乘法映射的满射性问题约化为 X×X 上第一个上同调群的消去。
• 将问题转化为 H¹(X×X, I ⊗ O_{X×X}(p₁⁻¹D + p₂⁻¹D′)) 的消去，其中 I 是对角子簇 Δ(X) 的理想。
• 分析该上同调群在 D′ 为 nef 或 X 为光滑时的消去条件。
• 借助 Sturmfels 和 Koelman 的结果，关于可逆单纯形剖分与投影正规性，建立闵可夫斯基和等式成立的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有 ν ∈ Z>0，何时有 (M ∩ P) + (M ∩ νP) = M ∩ (ν+1)P 成立？
• RQ2 在多面体 P 及其面平移的何种组合或几何条件下，典范乘法映射是满射？
• RQ3 当 D′ 为 nef 时，即使不假设 X 的光滑性或 D′ 的放大性，H¹(X×X, I ⊗ O_{X×X}(p₁⁻¹D + p₂⁻¹D′)) 是否仍消去？
• RQ4 P 的可逆单纯形剖分的存在性如何与格点闵可夫斯基和的等式相关？
• RQ5 P 与 P′（通过面平移确定）的相对位置与相关 toric 嬲的投影正规性之间存在何种精确关系？

主要发现

• 当 P 允许可逆（基本）单纯形剖分时，对所有 ν ∈ Z>0，等式 (M ∩ P) + (M ∩ νP) = M ∩ (ν+1)P 成立。
• 当 r = 1 或 r = 2 时，该等式已由 Koelman 及其他研究者证明成立。
• 若 D′ 为 nef 且 X 光滑，则典范乘法映射 H⁰(X, O_X(D)) ⊗ H⁰(X, O_X(D′)) → H⁰(X, O_X(D+D′)) 是满射。
• 当 D′ 为 nef 时，乘法映射的满射性等价于 H¹(X×X, I ⊗ O_{X×X}(p₁⁻¹D + p₂⁻¹D′)) 的消去。
• 在未附加光滑性假设或 D′ 放大性假设时，该上同调消去条件不能保证成立。
• 该问题与 toric 嬲的投影正规性密切相关，闵可夫斯基和的等式是这一代数几何性质在格点上的体现。