[论文解读] Process, Distinction, Groupoids and Clifford Algebras: an Alternative View of the Quantum Formalism

B. J. Hiley|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 53被引用 19

一句话总结

本文提出了一套基于原始过程概念的量子力学基础框架，利用正交和辛群丛生成克利福德代数。结果表明，薛定谔、泡利和狄拉克形式体系自然地从正交克利福德代数中涌现，而辛结构则导出非交换几何与玻姆相空间，将隐序与互补性统一于单一代数框架之中。

ABSTRACT

In this paper we start from a basic notion of process, which we structure into two groupoids, one orthogonal and one symplectic. By introducing additional structure, we convert these groupoids into orthogonal and symplectic Clifford algebras respectively. We show how the orthogonal Clifford algebra, which include the Schröodinger, Pauli and Dirac formalisms, describe the classical light-cone structure of space-time, as well as providing a basis for the description of quantum phenomena. By constructing an orthogonal Clifford bundle with a Dirac connection, we make contact with quantum mechanics through the Bohm formalism which emerges quite naturally from the connection, showing that it is a structural feature of the mathematics. We then generalise the approach to include the symplectic Clifford algebra, which leads us to a non-commutative geometry with projections onto shadow manifolds. These shadow manifolds are none other than examples of the phase space constructed by Bohm. We also argue that this provides us with a mathematical structure that fits the implicate-explicate order proposed by Bohm.

研究动机与目标

• 开发一种不基于粒子或场，而基于过程作为基本本体论要素的量子理论基础。
• 证明时空与量子现象可从基于过程构建的代数结构中自然涌现，而非预先强加。
• 证明玻姆方法与量子势是克利福德代数结构的内在特征，而非人为附加。
• 通过非交换几何中对阴影流形的投影，统一隐序与显序。
• 建立一个数学自洽的框架，使量子力学、相对论与互补性均源于同一代数基础。

提出的方法

• 从一个可区分的对 [T₁T₂] 表示的基本过程出发，形式化为括号以保持不可分性，同时允许区分。
• 从该过程中构造正交与辛群丛，再通过附加代数结构将其推广为正交与辛克利福德代数。
• 使用具有平移与相位算符 (U^s, V^t) 的离散结构来建模空间与动量类变换，然后取连续极限以恢复海森堡代数。
• 在克利福德丛上引入狄拉克联络，推导出等价于玻姆形式体系的动力学方程，而无需依赖希尔伯特空间表示。
• 推广至辛克利福德代数以描述非交换几何，此时位置与动量无法同时定义，实现玻尔的互补性。
• 将非交换结构投影到“阴影流形”上以建模显序，相空间即为具体实例。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子力学与时空结构能否从基本的过程概念中自然涌现，而非源于预先存在的流形？
• RQ2 薛定谔、泡利与狄拉克形式体系如何自然地从正交克利福德代数中产生？
• RQ3 玻姆方法，包括量子势，是否为克利福德代数结构的内在特征，而非现象学附加？
• RQ4 玻姆的隐序-显序关系能否通过基于过程群丛导出的非交换几何实现数学化？
• RQ5 离散过程结构的连续极限如何导出海森堡代数与标准量子力学？

主要发现

• 正交克利福德代数，包括泡利与狄拉克代数，自然地描述了时空的类光锥结构，表明量子代数结构具有经典几何根源。
• 通过在克利福德丛上引入狄拉克联络，玻姆动力学方程作为数学结构的内在特征自然出现，而非独立公设。
• 薛定谔、泡利与狄拉克理论在克利福德代数中形成自然层级，逐层嵌套，反映了从非相对论到相对论旋量的物理层级。
• 在连续极限下，辛克利福德代数导出海森堡代数与一种非交换几何，其中位置与动量空间的点无法同时定义，实现了玻尔的互补性。
• 从非交换结构投影到“阴影流形”为玻姆的显序提供了数学实现，相空间即为具体实例。
• 在狄拉克理论中，量子势被证明是德布罗意-玻姆量子势的精确相对论推广，证实了该方法在相对论领域的自洽性。