[论文解读] Product and coproduct in string topology

Nancy Hingston, Nathalie Wahl|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

本文将闭黎曼流形的自由环路空间上的Goresky-Hingston上同调乘积与同调余乘积推广至整系数奇异链，构造了一个非相对的、分次结合且交换的乘积与余乘积。关键结果表明，余乘积第k次迭代的非零性意味着每个代表元中均存在至少(k+1)重自交的环路，且该结论在球面与射影空间上是精确的。

ABSTRACT

Let M be a closed Riemannian manifold. We extend the product of Goresky-Hingston, on the cohomology of the free loop space of M relative to the constant loops, to a nonrelative product. It is graded associative and commutative, and compatible with the length filtration on the loop space, like the original product. We prove the following new geometric property of the dual homology coproduct: the nonvanishing of the k-th iterate of the coproduct on a homology class ensures the existence of a loop with a (k+1)-fold self-intersection in every representative of the class. For spheres and projective spaces, we show that this is sharp, in the sense that the k-th iterated coproduct vanishes precisely on those classes that have support in the loops with at most k-fold self-intersections. We study the interactions between this cohomology product and the more well-known Chas-Sullivan product. We give explicit integral chain level constructions of these loop products and coproduct, including a new construction of the Chas-Sullivan product, which avoid the technicalities of infinite dimensional tubular neighborhoods and delicate intersections of chains in loop spaces.

研究动机与目标

• 将相对Goresky-Hingston上同调乘积与同调余乘积提升至自由环路空间上的整系数奇异链。
• 定义一个非相对的、分次结合且交换的上同调乘积与同调余乘积，且与长度滤子相容。
• 建立余乘积迭代与环路代表元中最小自交数之间的几何联系。
• 在不依赖无穷维管状邻域或精细交集极限的前提下，提供Chas-Sullivan乘积与余乘积的显式、几何的链层构造。
• 证明对于球面与射影空间，第k次迭代余乘积恰好在由至多k重自交环路支撑的类上为零。

提出的方法

• 通过M×M中对角线的管状邻域导出的收缩映射构造Chas-Sullivan乘积与余乘积。
• 通过上同调类的庞特里亚金类截取后，经收缩至公共基点再进行环路连接，定义上同调乘积。
• 通过在收缩至对角线后对具有自交的环路应用带符号校正的切割映射，定义同调余乘积。
• 利用映射ΛM → M分裂上同调与同调，通过零延拓实现非相对运算的定义。
• 通过在常值环路上零延拓，将相对运算提升至整系数链，确保与长度滤子的相容性。
• 通过带符号校正的链层构造与庞特里亚金积、交叉积的图表追踪，证明结合性、分次交换性及与长度滤子的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 迭代余乘积是否能检测环路代表元中的最小自交数？
• RQ2 Chas-Sullivan乘积与Goresky-Hingston余乘积能否在整系数链层上构造，而无需使用无穷维管状邻域？
• RQ3 余乘积第k次迭代的非零性是否足以保证存在具有(k+1)重自交的代表元？
• RQ4 对于球面与射影空间，余乘积第k次迭代是否恰好在由至多k重自交环路支撑的类上为零？
• RQ5 新构造的链层乘积与余乘积在代数上如何相互作用，特别是与Frobenius恒等式的关系如何？

主要发现

• 在同调类上，余乘积第k次迭代的非零性意味着该类的每个代表元中均包含至少(k+1)重自交的环路。
• 对于球面与复射影空间，余乘积第k次迭代为零当且仅当该类由至多k重自交环路支撑，表明该不变量是精确的。
• 所构造的上同调乘积b⊛是分次结合且交换的，并与环路空间上的长度滤子相容。
• 余乘积b∨满足∧◦b∨=0，表明其与Chas-Sullivan乘积之间存在某种对合对偶性。
• 本文提供了Chas-Sullivan乘积的新几何链层构造，避免了无穷维管状邻域与精细交集极限的技术复杂性。
• 定义中的符号校正确保了乘积与余乘积满足预期的代数性质，包括结合性与分次交换性。