[论文解读] Product of positive semi-definite matrices

Jianlian Cui, Chi-Kwong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2015

graph theory and CDMA systems被引用 3

一句话总结

本文對可表達為三個或四個半正定矩陣乘積的複方陣提供了完整的特徵描述，彙整了矩陣分解理論中的一個關鍵缺口。透過酉相似變換將矩陣簡化為具有可逆與幂零塊的上三角形式，作者根據塊結構與數值範圍推導出必要且充分條件，從而實現對任意非負行列式複方陣所需半正定矩陣最小數量的演算法判定。

ABSTRACT

It is known that every complex square matrix with nonnegative determinant is the product of positive semi-definite matrices. There are characterizations of matrices that require two or five positive semi-definite matrices in the product. However, the characterizations of matrices that require three or four positive semi-definite matrices in the product are lacking. In this paper, we give a complete characterization of these two types of matrices. With these results, we give an algorithm to determine whether a square matrix can be expressed as the product of $k$ positive semi-definite matrices but not fewer, for $k = 1,2,3,4,5$.

研究动机与目标

• 彙整先前僅涵蓋一、二及五個因子之情況下，對於需恰好三個或四個半正定矩陣之乘積的矩陣特徵描述之理論缺口。
• 提供一個完整且演算法化的準則，以判定任何具有非負行列式的複方陣所需之最小半正定矩陣數量。
• 解決一個開放問題：對於具有可逆與幂零塊之上三角形式的矩陣，其是否可表示為三個半正定矩陣之乘積，取決於其對角塊之性質。
• 建立一個可逆矩陣可表示為三個正定矩陣乘積之必要且充分條件，並運用數值範圍與特徵值參數進行分析。

提出的方法

• 透過酉相似變換將任一矩陣轉換為上三角形式，分離為可逆塊 $ T_1 $ 與幂零塊 $ T_2 $，並包含非對角塊 $ R $。
• 使用數值範圍 $ W(A) $ 作為分析可逆塊 $ T_1 $ 譜性質之關鍵工具，特別是判斷 0 是否位於其內部。
• 利用酉不變性與相似變換，建立矩陣為兩個半正定矩陣乘積之等價條件。
• 證明矩陣 $ T $ 為三個半正定矩陣之乘積，當且僅當 $ R \neq 0 $ 或 $ T_2 \neq 0 $，或兩者皆成立（即 $ R = 0 $、$ T_2 = 0 $，且 $ T_1 $ 為三個正定矩陣之乘積）。
• 提供 $ T_1 $ 為三個正定矩陣乘積之準則：若 $ \det(T_1) > 0 $ 且 $ 0 \in \mathrm{int}(W(T_1)) $，或 $ 0 \notin \mathrm{int}(W(T_1)) $ 但 $ W(T_1) $ 包含正數，且其特徵值之參數和為零。
• 建構一個演算法，根據其酉相似形式之結構，判定任一矩陣 $ A \in M_n $（滿足 $ \det(A) \geq 0 $）可表示為 $ k $ 個半正定矩陣乘積之最小 $ k \in \{1,2,3,4,5\} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 複方陣可表達為恰好三個半正定矩陣乘積之必要且充分條件為何？
• RQ2 對於非負實數標量乘以單位矩陣之情況（特別是負實數標量），是否可完整描述需四個半正定矩陣之矩陣？
• RQ3 在數值範圍 $ T_1 $ 不包含零於其內部之情況下，可逆矩陣 $ T_1 $ 何時可表示為三個正定矩陣之乘積？
• RQ4 當矩陣處於具有可逆對角塊與幂零塊之上的三角形式時，其為三個半正定矩陣乘積之性質是否在酉相似變換下保持不變？
• RQ5 對於給定之具有非負行列式的矩陣，其可表達為 $ k $ 個半正定矩陣乘積之最小 $ k \in \{1,2,3,4,5\} $ 之演算法程序為何？

主要发现

• 若矩陣 $ T = \begin{bmatrix} T_1 & R \\ 0 & T_2 \end{bmatrix} $ 滿足 $ T_1 $ 可逆且 $ T_2 $ 幂零，則其為三個半正定矩陣之乘積，當且僅當 $ R \neq 0 $、$ T_2 \neq 0 $，或兩者皆成立（即 $ R = 0 $、$ T_2 = 0 $，且 $ T_1 $ 為三個正定矩陣之乘積）。
• 可逆矩陣 $ T_1 $ 為三個正定矩陣之乘積，當且僅當 $ \det(T_1) > 0 $ 且 $ 0 \in \mathrm{int}(W(T_1)) $，或 $ 0 \notin \mathrm{int}(W(T_1)) $ 但 $ W(T_1) $ 包含正數，且其特徵值之參數和為零。
• 若矩陣 $ A $ 為負實數標量乘以單位矩陣，即 $ A = \alpha I_n $，且 $ \alpha \notin [0, \infty) $，則其必須恰好使用五個半正定矩陣，無法以更少數量表示。
• 該演算法能正確判定任一矩陣 $ A \in M_n $（滿足 $ \det(A) \geq 0 $）之最小 $ k \in \{1,2,3,4,5\} $，其依據為其酉相似形式及其各塊與數值範圍之性質。
• 本文解決了一項猜想：顯示 $ \det(T_1) > 0 $ 為 $ T $ 為三個半正定矩陣乘積之必要條件，但非充分條件，並透過數值範圍與特徵值參數和之總和，提供完整特徵描述。
• 對於需恰好四個半正定矩陣之矩陣之特徵描述已完整：此類矩陣為無法表示為少於四個之矩陣，特別是形如 $ T_1 \oplus 0_p $ 之矩陣，其中 $ T_1 $ 同時不滿足成為三個正定矩陣乘積之條件 (i) 與 (ii)。