[论文解读] Product structure of graph classes with bounded treewidth

Rutger Campbell, Katie Clinch+9 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 5

一句话总结

本文引入了底层树宽的概念，用于刻画可嵌入于有界树宽图与固定大小完全图的强积中的图类。研究证明，平面图和 $K_{s,t}$-minor-free 图类的底层树宽分别为 3 和 $s$，并利用排除的拓扑极小图，对具有有界底层树宽的单调图类提供了完整刻画。

ABSTRACT

We show that many graphs with bounded treewidth can be described as subgraphs of the strong product of a graph with smaller treewidth and a bounded-size complete graph. To this end, define the "underlying treewidth" of a graph class $\mathcal{G}$ to be the minimum non-negative integer $c$ such that, for some function $f$, for every graph ${G \in \mathcal{G}}$ there is a graph $H$ with ${ ext{tw}(H) \leq c}$ such that $G$ is isomorphic to a subgraph of ${H \boxtimes K_{f( ext{tw}(G))}}$. We introduce disjointed coverings of graphs and show they determine the underlying treewidth of any graph class. Using this result, we prove that the class of planar graphs has underlying treewidth 3; the class of $K_{s,t}$-minor-free graphs has underlying treewidth $s$ (for ${t \geq \max\{s,3\}}$); and the class of $K_t$-minor-free graphs has underlying treewidth ${t-2}$. In general, we prove that a monotone class has bounded underlying treewidth if and only if it excludes some fixed topological minor. We also study the underlying treewidth of graph classes defined by an excluded subgraph or excluded induced subgraph. We show that the class of graphs with no $H$ subgraph has bounded underlying treewidth if and only if every component of $H$ is a subdivided star, and that the class of graphs with no induced $H$ subgraph has bounded underlying treewidth if and only if every component of $H$ is a star.

研究动机与目标

• 定义并分析图类的底层树宽，衡量其作为强积子图的表示简洁性。
• 确定平面图和 minor-free 图等关键图类在该类积中基图的最小树宽。
• 利用排除的拓扑极小图，对具有有界底层树宽的单调图类进行刻画。
• 探讨圆形图示和弱外 $k$-平面性等结构约束在限制底层树宽中的作用。
• 为多种图类（尤其是常数较小的图类）建立底层树宽绑定函数的紧致界。

提出的方法

• 引入不相交覆盖作为结构工具，用于分析和刻画底层树宽。
• 利用不相交覆盖证明：当且仅当图类排除某个固定的拓扑极小图时，其具有有界底层树宽。
• 应用强积结构定理，将有界树宽的图嵌入于低树宽图与有界大小完全图的积中。
• 利用圆形图示和边交叉约束，定义弱外 $k$-平面图并推导结构界。
• 利用已知的 $k$-平面图和 $k$-外平面图的树宽界，推导出树分划宽度和底层树宽的结果。
• 通过图的平面化处理，将 $k$-平面图与拓扑极小图关联，并应用积结构定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些图类可以表示为有界树宽图与固定大小完全图的强积的子图？
• RQ2 平面图类的最小底层树宽是多少？能否通过小常数的树宽绑定函数实现？
• RQ3 对于哪些图 $H$，$H$-子图自由图类或 $H$-诱导子图自由图类具有有界底层树宽？
• RQ4 排除一个固定拓扑极小图如何刻画具有有界底层树宽的单调图类？
• RQ5 弱外 $k$-平面性或每条边的有界交叉数等结构约束，能否导致具有小常数的有界底层树宽？

主要发现

• 平面图类的底层树宽为 3，且该界是紧致的，对于树宽为 $k$ 的图，其树宽绑定函数为 $O(k^2)$。
• 当 $t \neq 3$ 且 $t \neq 4$ 时，$K_{s,t}$-minor-free 图类的底层树宽为 $s$；$K_t$-minor-free 图类的底层树宽为 $t-2$。
• 一个单调图类具有有界底层树宽，当且仅当其排除某个固定的拓扑极小图，从而提供了完整的结构刻画。
• 外 $k$-平面图类的底层树宽为 2，且具有常数树宽绑定函数，推广了外平面图已知的树宽 2 性质。
• 对于半径为 $r$ 的 $k$-平面图，其底层树宽被限制在 $O((rk)^9)$ 以内，该结果通过平面化和积结构定理推导得出。
• 若图 $H$ 的每个连通分量均为细分星图，则不含 $H$-子图的图类具有有界底层树宽；若图 $H$ 的每个连通分量均为星图，则不含诱导 $H$-子图的图类具有有界底层树宽。