[论文解读] Product structure of graph classes with strongly sublinear separators

David R. Wood, Wood, David R.|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

该论文证明了具有强次线性分离器的遗传图类——即分离器大小为 $O(n^{1-\rho})$，其中 $\rho > 0$ —— 可表示为有界树深度图与大小为 $O(n^{1-\rho+\delta})$ 的完全图的强积的子图，其中 $\delta > 0$ 任意。关键贡献在于给出了一个紧致的刻画，表明 $\delta$ 的依赖关系以及 $O(\log \log n)$ 的树深度界是最优的，从而解决了产品结构理论中的一个核心开放问题。

ABSTRACT

We investigate the product structure of hereditary graph classes admitting strongly sublinear separators. We characterise such classes as subgraphs of the strong product of a star and a complete graph of strongly sublinear size. In a more precise result, we show that if any hereditary graph class $\mathcal{G}$ admits $O(n^{1-ε})$ separators, then for any fixed $δ\in(0,ε)$ every $n$-vertex graph in $\mathcal{G}$ is a subgraph of the strong product of a graph $H$ with bounded tree-depth and a complete graph of size $O(n^{1-ε+δ})$. This result holds with $δ=0$ if we allow $H$ to have tree-depth $O(\log\log n)$. Moreover, using extensions of classical isoperimetric inequalties for grids graphs, we show the dependence on $δ$ in our results and the above $ ext{td}(H)\in O(\log\log n)$ bound are both best possible. We prove that $n$-vertex graphs of bounded treewidth are subgraphs of the product of a graph with tree-depth $t$ and a complete graph of size $O(n^{1/t})$, which is best possible. Finally, we investigate the conjecture that for any hereditary graph class $\mathcal{G}$ that admits $O(n^{1-ε})$ separators, every $n$-vertex graph in $\mathcal{G}$ is a subgraph of the strong product of a graph $H$ with bounded tree-width and a complete graph of size $O(n^{1-ε})$. We prove this for various classes $\mathcal{G}$ of interest.

研究动机与目标

• 通过产品结构定理刻画具有强次线性分离器的遗传图类。
• 确定在强积分解中完全图因子大小对分离器指数 $\epsilon$ 的最优依赖关系。
• 研究此类图类中每个 $n$-顶点图是否如猜想所述，可表示为 $H \boxtimes K_m$ 的子图，其中 $H$ 的树宽有界且 $m = O(n^{1-\epsilon})$。
• 证明树深度和 $\delta$-依赖关系在界上的最优性。

提出的方法

• 使用强积分解来表示具有强次线性分离器的遗传类中的图。
• 将网格图上的等周不等式应用于推导完全图因子所需大小的下界。
• 通过树的迭代细分构造极值图，以证明界的紧致性。
• 利用树深度和路径分解技术来界定分解中的结构参数。
• 通过反证法证明 $\delta$-依赖关系和 $O(\log \log n)$ 的树深度界是最优的。
• 利用已知的关于极小闭和几何图类的结果，验证特殊情形下的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有 $O(n^{1-\epsilon})$ 分离器的遗传图类是否都能表示为 $H \boxtimes K_m$ 的子图，其中 $H$ 的树深度有界且 $m = O(n^{1-\epsilon+\delta})$，$\delta > 0$ 任意？
• RQ2 当 $\delta = 0$ 时，$H$ 的 $O(\log \log n)$ 树深度界是否紧致？
• RQ3 是否可以消除指数中对 $\delta$ 的依赖，即能否实现 $m = O(n^{1-\epsilon})$ 且 $H$ 的树宽有界？
• RQ4 此类产品分解中树深度和 $\delta$-依赖关系的界是否最优？
• RQ5 该猜想在特定类中是否成立，例如球体接触图、$k$-交叉退化图或串图？

主要发现

• 每个具有 $O(n^{1-\epsilon})$ 分离器的遗传图类中的 $n$-顶点图，都是树深度为 $O(\log \log n)$ 的图 $H$ 与大小为 $O(n^{1-\epsilon+\delta})$ 的完全图的强积的子图，其中 $\delta > 0$ 任意。
• 指数中对 $\delta$ 的依赖关系是最优的，通过构造极值图证明：若减小 $\delta$，则必须增大完全图因子。
• 当 $\delta = 0$ 时，$H$ 的 $O(\log \log n)$ 树深度界是最优的，通过在类似网格的图上使用等周论证予以证明。
• 对于树宽有界为 $t$ 的图，本文证明了紧致的产品结构：它们是 $H \boxtimes K_m$ 的子图，其中 $H$ 的树深度为 $t$，$m = O(n^{1/t})$，该结果是最优的。
• 猜想中 $m = O(n^{1-\epsilon})$ 且 $H$ 的树宽有界，在多个重要类中成立，包括平面图、有界欧拉亏格图以及极小闭图类。
• 本文表明，若 $\mathcal{G}$ 不是遗传的，则该猜想不成立：通过构造一个具有无界完全子图的单个图，证明其无法嵌入到具有有界树宽 $H$ 的此类积中。