[论文解读] Products in Generalized Differential Cohomology

Markus Upmeier|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文证明，对于有理偶的、乘法的广义上同调理论 $E$，霍普金斯-辛格微分上同调提升 $̂{E}$ 具有单位元、分次交换的乘积结构。该构造依赖于对积分映射的精炼以及对偶理论微分上同调理论的发展，确保与陈类特征和微分形式的相容性，从而通过有理偶性解决了早期构造中的非唯一性问题。

ABSTRACT

In this paper it is shown that multiplicative cohomology theories that are rationally even -- a technical condition that is often satisfied -- the Hopkins-Singer construction of generalized differential cohomology has a unital, graded commutative multiplicative structure. To this end, an explicit integration and a differential cohomology theory for pairs are also developed.

研究动机与目标

• 为有理偶上同调理论构造广义微分上同调 $\hat{E}$ 上的乘法结构。
• 通过限制于有理偶理论，解决微分提升中的非唯一性问题。
• 为对 $\hat{E}^*(M,N)$ 构建微分上同调理论，使其具有预期的正合序列。
• 确保乘积与积分映射 $\int_{S^1}$ 相容，保持函子性与分次交换性。
• 提供一个可提升陈类特征并尊重几何与上同调数据的典范、乘法性提升。

提出的方法

• 引入与 $I$、$R$ 和 $a$ 相容的精炼积分映射 $\int_{S^1}: \hat{E}^{*+1}(S^1 \times M) \to \hat{E}^*(M)$。
• 利用相对数据定义对 $\hat{E}^*(M,N)$ 的微分上同调，得到一个长正合序列。
• 通过显式代表元 $(c, \omega, h)$ 与链上同伦，构造乘积 $\hat{x} \cup \hat{y}$。
• 利用可 acyclic 模型定理，证明迭代积分与乘积结构之间的链上同伦等价。
• 利用有理偶性消除基本上同调类选择中的歧义，确保乘积结构的典范性。
• 通过按度数分情况讨论，利用分次交换性与迭代积分恒等式，验证乘积与积分的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有理偶上同调理论的霍普金斯-辛格微分上同调 $\hat{E}$ 标准化地定义乘法结构？
• RQ2 如何精炼积分映射，使其在微分上同调中与乘积可交换？
• RQ3 微分上同调对 $\hat{E}^*(M,N)$ 的正确表述是什么？它是否产生一个长正合序列？
• RQ4 微分上同调上的乘积是否与 $S^1$-积分映射 $\int_{S^1}$ 可交换？其在不同度数奇偶性下的验证方式为何？
• RQ5 能否通过有理偶性解决早期微分提升中非典范选择的问题？

主要发现

• 对于任意有理偶、乘法的上同调理论 $E$，其微分上同调 $\hat{E}^*$ 上存在单位元、分次交换的乘积结构，解决了早期构造中的非唯一性问题。
• 乘积结构与 $S^1$-积分映射相容，对所有度数奇偶性均满足 $\int_{S^1}(\hat{x} \times \hat{y}) = \left(\int_{S^1}\hat{x}\right) \times \hat{y}$。
• 构造了对 $\hat{E}^*(M,N)$ 的微分上同调理论，其包含自然的长正合序列，涉及 $\hat{E}^*_{\text{flat}}(N)$、$\hat{E}^*(M,N)$、$\hat{E}^*(M)$ 与 $\hat{E}^*(N)$。
• 通过分情况验证，结合迭代积分与链上同伦论证，证明了乘积的结合性与分次交换性。
• 利用有理偶性确保不同基本上同调类选择导出的乘积结构彼此同构，从而得到典范的微分上同调理论。
• 该构造与陈类特征、曲率映射 $R$ 及特征类映射 $I$ 相容，构成 [BS10] 意义下的一致微分提升。