[论文解读] Products of metric spaces, covering numbers, packing numbers and characterizations of ultrametric spaces

Oleksiy Dovgoshey, Олли Мартио|ArXiv.org|Mar 9, 2009

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 5被引用 24

一句话总结

本文研究了度量空间的笛卡尔积在何种条件下为非阿基米德度量空间，重点分析了覆盖数与打包数。研究证明：一个度量空间是非阿基米德度量空间，当且仅当对所有紧致集及所有 ε > 0，其覆盖数与打包数相等，并给出了在部分保持距离的度量及覆盖数与打包数满足特定不等式时，非阿基米德度量空间的笛卡尔积仍保持非阿基米德性质的充分条件。

ABSTRACT

We describe some Cartesian products of metric spaces and find conditions under which products of ultrametric spaces are ultrametric.

研究动机与目标

• 通过覆盖数与打包数相等来刻画非阿基米德度量空间。
• 研究度量空间的笛卡尔积在何种条件下继承非阿基米德性质。
• 将覆盖数与打包数推广至超限基数，以改进分析。
• 建立在部分保持距离的度量下，非阿基米德度量空间的笛卡尔积仍保持非阿基米德性质的充分条件。
• 阐明非阿基米德性质中的中间性指数 t₀ 在确定度量空间及其积的结构中的作用。

提出的方法

• 引入中间性指数 t₀(d) 作为度量空间中所有三元组 x,y,z 的 s(x,y,z) 的下确界，其中 s(x,y,z) 是严格三角不等式成立时 (d(x,y))^s = (d(x,z))^s + (d(z,y))^s 的解。
• 定义覆盖数与打包数的超限推广，分别记为 \hat{\mathcal{N}}_ε^A(W) 与 \hat{\mathcal{M}}_ε(W)，以将分析扩展至无限集合。
• 建立一个改进的不等式：\mathcal{M}^{*}_{2^{1/t₀}ε}(W) ≤ \hat{\mathcal{N}}_ε^X(W) ≤ \hat{\mathcal{N}}_ε(W) ≤ \hat{\mathcal{M}}_ε(W) ≤ \mathcal{M}^{*}_ε(W)，将中间性指数与覆盖数和打包数的行为联系起来。
• 引入 X × Y 上的部分保持距离的度量 d，满足 d ≥ d_∞ 且 d 仅依赖于 d_X 与 d_Y。
• 利用紧致集 W ⊆ X, Z ⊆ Y 时的等式 \mathcal{N}_ε(W × Z) = \mathcal{N}_ε(W) · \mathcal{N}_ε(Z)，推导出乘积空间为非阿基米德度量空间的条件。
• 应用定理 2.9，即一个度量空间是非阿基米德度量空间，当且仅当对所有紧致 W 与 ε > 0，有 \mathcal{N}_ε(W) = \mathcal{M}_ε(W)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个度量空间的笛卡尔积本身是非阿基米德度量空间？
• RQ2 在一般度量空间中，覆盖数与打包数之间有何关系，其相等意味着什么？
• RQ3 中间性指数 t₀ 在刻画非阿基米德度量空间中起什么作用？
• RQ4 覆盖数与打包数的相等关系能否推广至超限基数，这对度量结构意味着什么？
• RQ5 在何种条件下，乘积空间上的部分保持距离的度量能保持非阿基米德性质？

主要发现

• 一个度量空间是非阿基米德度量空间，当且仅当对每个紧致集 W 与每个 ε > 0，其覆盖数 \mathcal{N}_ε(W) 等于打包数 \mathcal{M}_ε(W)。
• 中间性指数 t₀ 满足 t₀ = inf{s(x,y,z)} 对所有三元组 x,y,z 成立，且 t₀ = ∞ 当且仅当空间为非阿基米德度量空间。
• 在度量空间的任意闭球 B(a,r) 中，直径满足 diam(B(a,r)) ≤ 2^{1/t₀} r，且在非阿基米德情形下取等。
• 对所有 ε > 0 与紧致 W，有改进的不等式 \mathcal{M}^{*}_{2^{1/t₀}ε}(W) ≤ \hat{\mathcal{N}}_ε^X(W) ≤ \hat{\mathcal{N}}_ε(W) ≤ \hat{\mathcal{M}}_ε(W) ≤ \mathcal{M}^{*}_ε(W) 成立。
• 若 (X,d_X) 与 (Y,d_Y) 为非阿基米德度量空间，且 d 是 X × Y 上的满足 d ≥ d_∞ 的部分保持距离的度量，则 (X × Y,d) 为非阿基米德度量空间，当且仅当对所有紧致 W ⊆ X, Z ⊆ Y 与 ε > 0，有 \mathcal{N}_ε(W × Z) = \mathcal{N}_ε(W) · \mathcal{N}_ε(Z)。
• 在缺乏对称性时，等式 d((x₁,y₁),(x₂,y₂)) = d((x₂,y₁),(x₁,y₂)) 在给定条件下是乘积空间为非阿基米德度量空间的必要条件。