[论文解读] Products of normal, beta and gamma random variables: Stein operators and distributional theory

Robert E. Gaunt|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2015

Random Matrices and Applications被引用 4

一句话总结

本文通过为这些混合乘积推导出新颖的Stein算子，将Stein方法扩展至独立的贝塔、伽马、广义伽马及均值为零的正态随机变量的乘积。文章建立了此类乘积的概率密度函数和特征函数的闭式表达式，涉及梅杰尔G函数，将经典Stein算子在正态、贝塔和伽马分布下的情形作为特例统一起来。

ABSTRACT

In this paper, we extend Stein's method to products of independent beta, gamma, generalised gamma and mean zero normal random variables. In particular, we obtain Stein operators for mixed products of these distributions, which include the classical beta, gamma and normal Stein operators as special cases. These operators lead us to closed-form expressions involving the Meijer $G$-function for the probability density function and characteristic function of the mixed product of independent beta, gamma and central normal random variables.

研究动机与目标

• 将Stein方法从正态分布扩展至独立的贝塔、伽马、广义伽马及均值为零的正态随机变量的乘积。
• 为这些分布的混合乘积推导Stein算子，推广针对单一分布的经典算子。
• 使用梅杰尔G函数，为这类乘积的概率密度函数和特征函数提供闭式表达式。
• 在单一框架内统一并推广现有针对正态、贝塔和伽马分布的Stein算子。

提出的方法

• 为独立的贝塔、伽马、广义伽马及均值为零的正态随机变量的乘积推导广义Stein算子。
• 利用梅林变换和梅杰尔G函数的性质，表达乘积分布的概率密度函数和特征函数。
• 证明独立的贝塔、伽马和正态变量的乘积具有可用梅杰尔G函数表示的分布。
• 应用梅杰尔G函数的已知积分恒等式和渐近展开式，分析所得分布。
• 将推导出的算子与现有针对正态、贝塔和伽马分布的Stein算子作为特例相联系。
• 利用梅杰尔G函数满足的微分方程，验证推导出的Stein算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Stein方法扩展至处理独立的贝塔、伽马、广义伽马及均值为零的正态随机变量的乘积？
• RQ2 这些分布的混合乘积的Stein算子形式为何？它如何推广针对单一分布的经典算子？
• RQ3 能否利用特殊函数为这类乘积的概率密度函数和特征函数推导出闭式表达式？
• RQ4 梅杰尔G函数在表征这些乘积的分布中起什么作用？
• RQ5 推导出的算子与已知的正态、贝塔和伽马分布的Stein算子有何关系？

主要发现

• 本文为独立的贝塔、伽马及均值为零的正态随机变量的乘积推导出新的Stein算子，推广了针对单一分布的经典算子。
• 该乘积的概率密度函数以梅杰尔G函数的闭式表达，具体表现为广义超几何函数。
• 该乘积分布的特征函数也以梅杰尔G函数的形式给出了闭式表达。
• 独立正态随机变量的乘积服从可用梅杰尔G函数表示的分布，其中包含修正贝塞尔函数 $ K_0 $ 的特例。
• 当退化为单一分量乘积时，推导出的算子退化为正态、贝塔和伽马分布的经典Stein算子。
• 该框架可通过求解非齐次微分方程，推导出概率距离的界，从而将Stein方法的适用范围扩展至乘积分布。