[论文解读] Products of normal subsets and derangements

Michael Larsen, Aner Shalev+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2020

Finite Group Theory Research参考文献 57被引用 5

一句话总结

本文研究有限單群中正規子集與無固定點置換的乘積，證明對於有界秩的有限單李型群，每個非單位元元素均可表示為兩個大正規子集的乘積。此外，進一步證明在足夠大的交替群中，每個元素均可表示為兩個無固定點置換的乘積，從而解決了 permutation 群論中的一個結構性問題，並推廣了詞映射與 Waring 型問題的結果。

ABSTRACT

In recent years there has been significant progress in the study of products of subsets of finite groups and of finite simple groups in particular. In this paper we consider which families of finite simple groups $G$ have the property that for each $ε> 0$ there exists $N > 0$ such that, if $|G| \ge N$ and $S, T$ are normal subsets of $G$ with at least $ε|G|$ elements each, then every non-trivial element of $G$ is the product of an element of $S$ and an element of $T$. We show that this holds in a strong sense for finite simple groups of Lie type of bounded rank, while it does not hold for alternating groups or groups of the form ${\mathrm{PSL}}_n(q)$ where $q$ is fixed and $n$ tends to infinity. Our second main result is that any element in a transitive permutation representation of a sufficiently large finite simple group is a product of two derangements.

研究动机与目标

• 確定在哪些有限單群族中，每個非單位元元素均可表示為兩個大正規子集的乘積。
• 研究當群的大小增加時，兩個大正規子集的乘積是否覆蓋所有非單位元元素。
• 建立在足夠大的有限單群的換位置換表示中，每個元素均可表示為兩個無固定點置換的乘積。
• 將詞映射與 Waring 型問題的結果推廣至正規子集的乘積。
• 分析群乘積中表示數的漸近行為，特別是與均勻分佈的關係。

提出的方法

• 使用 Lang-Weil 估計來控制有限域上代數曲面上的有理點數量，這是均勻分佈結果的關鍵。
• 應用尊重群乘積結構的同態技術，將子集乘積與特徵和、表示理論聯繫起來。
• 運用特徵估計與不可約特徵次數的界，分析正規子集乘積的大小與分佈。
• 利用有限單群分類與對交替群及經典李型群的個案分析。
• 在對稱群與交替群中使用歸納法與循環分解技術，構造乘積可生成任意給定群元素的無固定點置換。
• 應用近似子群與擬隨機群理論的結果，以界定子集增長與乘積封閉性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些有限單群族中，每個非單位元元素都屬於兩個大正規子集的乘積？
• RQ2 當 |G| → ∞ 時，每個非單位元元素的表示數與 |S||T|/|G| 的比值是否均勻收斂至 1？
• RQ3 在足夠大的有限單群的換位置換表示中，每個元素是否都可寫成兩個無固定點置換的乘積？
• RQ4 有限單群中三個正規子集乘積的漸近行為為何？
• RQ5 詞映射的像大小與有限單群中正規子集結構之間有何關係？

主要发现

• 對於有界秩的有限單李型群，只要 |G| 足夠大，每個非單位元元素都可表示為兩個大小至少為 ε|G| 的正規子集的乘積，其中 ε > 0 為任意常數。
• 此強乘積性質在交替群中，以及在固定 q 而 n → ∞ 時的 PSL_n(q) 中不成立。
• 在足夠大的交替群 A_n（n ≥ 5）的換位置換表示中，每個元素都可表示為兩個無固定點置換的乘積。
• 證明依賴於循環型態的個案分析，以及利用 (n−2)-循環與偶長度循環乘積的歸納構造。
• 對於 n ≥ 11 的 A_n，透過歸納法與共軛類結構建立結果，基本情形經計算驗證。
• 本文確認無固定點置換以強乘法方式生成群，推廣了詞映射與共軛類乘積的機率結果。