[论文解读] Profinite Groups with a Cyclotomic $p$-Orientation

Claudio Quadrelli, Thomas Weigel|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 12

一句话总结

本文引入并研究了赋予有理 $p$-方向的概有限群，这是一种推广绝对伽罗瓦群的有理特征的上同调条件。证明了具有此类方向的 Bloch-Kato 概 $p$-群满足强 Tits 交替律，并在额外约束条件下，作为半直积分解为一个典范阿贝尔正规子群，将已知结果推广至 $p=2$ 的情形。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime. A continuous representation $ heta\colon G o\mathrm{GL}_1(\mathbb{Z}_p)$ of a profinite group $G$ is called a cyclotomic $p$-orientation if for all open subgroups $U\subseteq G$ and for all $k,n\geq1$ the natural maps $H^k(U,\mathbb{Z}_p(k)/p^n) o H^k(U,\mathbb{Z}_p(k)/p)$ are surjective. Here $\mathbb{Z}_p(k)$ denotes the $\mathbb{Z}_p$-module of rank 1 with $U$-action induced by $ heta\vert_U^k$. By the Rost-Voevodsky theorem, the cyclotomic character of the absolute Galois group $G_{\mathbb{K}}$ of a field $\mathbb{K}$ is, indeed, a cyclotomic $p$-orientation of $G_{\mathbb{K}}$. We study profinite groups with a cyclotomic $p$-orientation. In particular, we show that cyclotomicity is preserved by several operations on profinite groups, and that Bloch-Kato pro-$p$ groups with a cyclotomic $p$-orientation satisfy a strong form of Tits' alternative and decompose as semi-direct product over a canonical abelian closed normal subgroup.

研究动机与目标

• . 引入并分析概有限群上 $p$-方向的概念。
• . 建立此类方向在逆极限、自由积和纤维积等关键群论构造下保持不变的性质。
• . 证明赋予有理 $p$-方向的 Bloch-Kato 概 $p$-群满足强形式的 Tits 交替律。
• . 探究这些群的结构，特别是其作为半直积的分解。
• . 将结果与最大概 $p$-伽罗瓦群的初等型猜想联系起来。

提出的方法

• . 将 $p$-方向定义为连续同态 $\theta: G \to \mathbb{Z}_p^\times$，并由此诱导出扭曲模 $\mathbb{Z}_p(k)$。
• . 通过开子群 $U$ 上上同调映射 $H^k(U, \mathbb{Z}_p(k)/p^n) \to H^k(U, \mathbb{Z}_p(k)/p)$ 的满射性，引入 $k$-有理性的概念。
• . 利用 Rost-Voevodsky 定理证明域的绝对伽罗瓦群是赋予有理 $p$-方向的群。
• . 使用连续链复形上同调与 $p$-完全群的性质，分析 $\theta$-中心与核的结构。
• . 应用虚拟概 $p$-群与补子群的理论，在上同调有限性条件下证明分裂定理。
• . 利用 $\theta$-中心 $Z_\theta(G)$ 及其在短正合列 $1 \to Z_\theta(G) \to G \to \bar{G} \to 1$ 中的作用，推导出分解结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 概有限群上的有理 $p$-方向条件是否蕴含强形式的 Tits 交替律，即要么包含一个非交换的闭非阿贝尔自由概 $p$-子群，要么是 $\theta$-阿贝尔群？
• RQ2 . 在何种条件下，短正合列 $1 \to Z_\theta(G) \to G \to \bar{G} \to 1$ 对于赋予有理 $p$-方向的 Bloch-Kato 概 $p$-群是分裂的？
• RQ3 . 赋予有理 $p$-方向的 Bloch-Kato 概 $p$-群类是否在逆极限、自由积与分裂 $\theta$-阿贝尔群的纤维积下封闭？
• RQ4 . 最大概 $p$-伽罗瓦群的初等型猜想是否可由赋予有理 $p$-方向的 Bloch-Kato 概 $p$-群的结构推出？
• RQ5 . 对于 $p=2$，强 Tits 交替律是否需要额外假设 $\operatorname{im}(\theta) \subseteq 1 + 4\mathbb{Z}_2$？

主要发现

• . 赋予有理 $p$-方向的 Bloch-Kato 概 $p$-群满足强形式的 Tits 交替律：要么包含一个闭的非阿贝尔自由概 $p$-子群，要么是 $\theta$-阿贝尔群。
• . 对于 $p=2$，在额外假设 $\operatorname{im}(\theta) \subseteq 1 + 4\mathbb{Z}_2$ 下，强 Tits 交替律成立，且通过反例表明该假设是必要的。
• . 若 $G$ 是概 $p$-群、虚拟概 $p$-群，或 $\bar{G}$ 是赋予有理 $p$-方向且为 Bloch-Kato 的群，且 $\operatorname{cd}_p(G) < \infty$，则短正合列 $1 \to Z_\theta(G) \to G \to \bar{G} \to 1$ 是分裂的。
• . 赋予有理 $p$-方向的 Bloch-Kato 概 $p$-群类在逆极限（结构映射满射时）、自由积、与分裂 $\theta$-阿贝尔群的纤维积，以及模去包含于 $\ker(\theta)$ 的 $p$-完全正规子群的商下是封闭的。
• . $\theta$-中心 $Z_\theta(G)$ 是一个典范的阿贝尔闭正规子群，且在分裂条件下，$G$ 可分解为半直积 $G \simeq Z_\theta(G) \rtimes \operatorname{im}(\theta)$。
• . 每个有限生成、无挠的赋予有理 $p$-方向的 Bloch-Kato 概 $p$-群为初等型（广义意义下）的猜想仍为开放问题，尽管该猜想强于 Efrat 的初等型猜想。