[论文解读] Profinite iterated monodromy groups arising from quadratic morphisms with infinite postcritical orbits

Richard Pink|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 14

一句话总结

本文对特征不为2的域上具有无限后临界轨道的二次有理映射所生成的受限迭代单值群进行了分类。通过自相似群理论与伽罗瓦表示，证明了几何单值群共轭于仅依赖于后临界轨道组合类型的递归定义子群 $ G(r) $，其豪斯多夫维数为 $ 1 - 2^{-r} $，并借助伽罗瓦作用与正规化子结构，完全刻画了算术单值群。

ABSTRACT

We study in detail the profinite group G arising as geometric étale iterated monodromy group of an arbitrary quadratic morphism f with an infinite postcritical orbit over a field of characteristic different from two. This is a self-similar closed subgroup of the group of automorphisms of a regular rooted binary tree. In many cases it is equal to the automorphism group of the tree, but there remain some interesting cases where it is not. In these cases we prove that the conjugacy class of G depends only on the combinatorial type of the postcritical orbit of f. We also determine the Hausdorff dimension and the normalizer of G. This result is then used to describe the arithmetic étale iterated monodromy group of f. The methods used mostly group theoretical and of the same type as in a previous article of the same author dealing with quadratic polynomials with a finite postcritical orbit. The results on abstract self-similar profinite groups acting on a regular rooted binary tree may be of independent interest.

研究动机与目标

• 对特征不为2的域上具有无限后临界轨道的二次态射的几何与算术 étale 迭代单值群进行分类。
• 确定在何种情况下几何单值群等于正则根二叉树的完整自同构群，以及在何种情况下为真子群。
• 证明几何单值群的共轭类仅依赖于后临界轨道的组合类型。
• 计算几何单值群的豪斯多夫维数及其正规化子。
• 通过伽罗瓦作用描述算术单值群，并确定其在几何群上的指标。

提出的方法

• 使用自相似受限群理论，定义并分析 $ \mathrm{Aut}(T) $（正则根二叉树的自同构群）中的递归生成子群 $ G(r) $。
• 应用群论技术，包括共轭、正规化子计算及子群包含关系，分析 $ G(r) $ 的结构。
• 利用生成元的递归关系：每个生成元 $ b_p $ 共轭于 $ (b_q, 1) $、$ (b_q, b_{q'}) $ 或 $ \sigma $ 的乘积，具体取决于 $ p $ 的原像结构。
• 利用生成元的无限乘积在 $ \mathrm{Aut}(T) $ 中收敛于单位元这一事实，作为群结构的关键约束。
• 应用特殊化与基变换技术，将函数域上的单值群与数域或有限域上的单值群关联起来。
• 使用伽罗瓦上同调及自然同态 $ \mathrm{Gal}(\bar{k}/k) \to G^{\mathrm{arith}}/G^{\mathrm{geom}} $ 确定算术单值群。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有无限后临界轨道的二次态射，何时其几何迭代单值群等于正则根二叉树的完整自同构群？
• RQ2 几何单值群的共轭类如何依赖于后临界轨道的组合结构？
• RQ3 当几何单值群不是完整自同构群时，其豪斯多夫维数是多少？
• RQ4 当临界点在基域上非有理时，算术单值群与几何单值群有何关系？
• RQ5 能否以几何单值群为界，界定有理点的原像树上的单值群？

主要发现

• 若对所有 $ r \geq 1 $，有 $ f^{r+1}(p_0) \neq f^{r+1}(q_0) $，则 $ G^{\mathrm{geom}} = G^{\mathrm{arith}} = \mathrm{Aut}(T) $，即树的完整自同构群。
• 否则，对满足 $ f^{r+1}(p_0) = f^{r+1}(q_0) $ 的最小 $ r \geq 1 $，几何单值群 $ G^{\mathrm{geom}} $ 共轭于仅依赖于 $ r $ 的递归定义子群 $ G(r) \subset \mathrm{Aut}(T) $。
• 子群 $ G(r) $ 的豪斯多夫维数为 $ 1 - 2^{-r} $，这是其在 $ \mathrm{Aut}(T) $ 中大小的精确度量。
• 显式计算了 $ G(r) $ 在 $ \mathrm{Aut}(T) $ 中的正规化子，并证明 $ G(r) $ 在共轭下具有自相似性与半刚性。
• 若临界点定义在 $ k $ 上，则 $ G^{\mathrm{arith}} = G^{\mathrm{geom}} $；否则 $ G^{\mathrm{arith}} $ 是 $ G^{\mathrm{geom}} $ 的指标为2的扩张，由一个额外的显式元素生成。
• 对任意有理点 $ x' \in \mathbb{P}^1(k') \setminus P $，单值群 $ G_{x'} $ 包含于某个 $ G(r) $ 的共轭中，且存在 $ w \in \mathrm{Aut}(T) $ 使得 $ [G^{\mathrm{arith}} : G^{\mathrm{arith}} \cap wG(r)w^{-1}] < \infty $。