[论文解读] Projected Richardson varieties and affine Schubert varieties

Xuhua He, Thomas Lam|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 26被引用 12

一句话总结

本文在部分旗流形 $G/P$ 中的投影Richardson流形与仿射旗流形 $\widetilde{Fl}$ 中的仿射Schubert流形之间建立了深层的组合与上同调对应关系，表明投影Richardson流形的闭包序与Iwahori-Weyl群中可接受集 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 的一个子集之间存在序反向同构。此外，本文证明了这些流形的 $K$-理论类通过仿射Grassmannian的拉回而相关联，将此前关于Grassmannian的结果推广至任意共小的 $G/P$。

ABSTRACT

Let $G$ be a complex quasi-simple algebraic group and $G/P$ be a partial flag variety. The projections of Richardson varieties from the full flag variety form a stratification of $G/P$. We show that the closure partial order of projected Richardson varieties agrees with that of a subset of Schubert varieties in the affine flag variety of $G$. Furthermore, we compare the torus-equivariant cohomology and $K$-theory classes of these two stratifications by pushing or pulling these classes to the affine Grassmannian. Our work generalizes results of Knutson, Lam, and Speyer for the Grassmannian of type $A$.

研究动机与目标

• 建立 $G/P$ 中投影Richardson流形的闭包序与仿射旗流形 $\widetilde{Fl}$ 中仿射Schubert流形的一个子集之间的组合对应关系。
• 通过拉回至仿射Grassmannian，比较投影Richardson流形与仿射Schubert流形的环面等变上同调与 $K$-理论类。
• 将Knutson、Lam与Speyer在Grassmannian上的结果推广至任意共小旗流形 $G/P$。
• 为“假”酉Shimura流形的局部模型的特殊纤维上的有理点数量提供一个闭式公式。

提出的方法

• 定义从投影Richardson流形的偏序集 $Q_J$ 到Iwahori-Weyl群的可接受集 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 的映射 $\theta: Q_J \to \mathrm{Adm}(\lambda)$，证明其为序反向映射，且像位于 $t^{-\lambda}$ 的 $W \times W$-双陪集内。
• 利用Coxeter群的Demazure（乘法）积的性质，分析偏序集 $Q_J$ 及其与 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 的关系的组合结构。
• 构造从分层空间 $Z_J$、$G/P$ 与 $\widetilde{Fl}$ 之间的映射，以几何方式解释该组合同构。
• 通过仿射Grassmannian上的向前映射 $p_*[\mathcal{O}_{\Pi^x_y}] = q^*(\psi^{\theta(x,y)})$ 建立 $K$-理论比较，将 $G/P$ 中的结构层类与 $\widetilde{Fl}$ 中的类联系起来。
• 利用包含映射 $p: G/P \hookrightarrow \mathrm{Gr}_\lambda$ 及复合映射 $\mathrm{Gr} \simeq \Omega K \to LK \to LK/T_{\mathbb{R}} \simeq \widetilde{Fl}$，关联 $K$-理论类。
• 证明偏序集 $Q_J$、$\Omega_J$ 与 $Q'_J$ 通过显式的保序双射 $f$、$g$ 与 $h$ 在组合上等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $G/P$ 中的投影Richardson流形的闭包序如何与 $\widetilde{Fl}$ 中仿射Schubert流形的Bruhat序相关？
• RQ2 投影Richardson流形的 $K$-理论类能否通过几何拉回与仿射Schubert流形的类相关联？
• RQ3 是否存在投影Richardson流形的偏序集 $Q_J$ 与Iwahori-Weyl群中可接受集 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 之间的组合同构？
• RQ4 “假”酉Shimura流形的局部模型的特殊纤维上的有理点数量是多少？
• RQ5 在 $G/P$ 与 $\widetilde{Fl}$ 之间，这些分层结构的上同调与 $K$-理论结构如何比较？

主要发现

• 映射 $\theta: Q_J \to \mathrm{Adm}(\lambda)$ 是一个序反向单射，其像为 $t^{-\lambda}$ 的 $W \times W$-双陪集，且当 $\lambda$ 为极小权时成为序反向双射。
• $Q_J$、$\Omega_J$ 与 $Q'_J$ 通过显式的保序双射 $f$、$g$ 与 $h$ 在组合上等价。
• $G/P$ 中投影Richardson流形 $\Pi^x_y$ 的结构层 $K$-理论类等于 $\widetilde{Fl}$ 中对应仿射Schubert流形 $\psi^{\theta(x,y)}$ 的 $K$-理论类的拉回，即 $p_*[\mathcal{O}_{\Pi^x_y}] = q^*(\psi^{\theta(x,y)})$。
• “假”酉Shimura流形的局部模型的特殊纤维上的有理点数量由 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 在极小权 $\lambda$ 下的计数导出的闭式公式给出。
• $Q_J$ 与 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 之间的组合同构在证明局部模型的正规性与Cohen-Macaulay性中起关键作用。
• 本研究将Knutson、Lam与Speyer在Grassmannian上的 $K$-理论与上同调比较结果推广至任意共小旗流形。