[论文解读] Projection-based reduced order models for a cut finite element method in parametrized domains

Efthymios N. Karatzas, Francesco Ballarin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 83被引用 35

一句话总结

该论文提出了一种基于投影的降模态模型（ROM），结合CutFEM高保真离散化方法，用于参数化椭圆型与Stokes问题，可在无需重划网格的情况下准确求解具有大几何变化的PDE问题。通过将自然光滑延拓与解的传输结合至同一背景网格，该方法在椭圆问题中实现了10⁻⁴量级的相对误差，在Stokes问题中实现了10⁻²量级的相对误差，显著提升了仅使用标准延拓方法时的基函数效率。

ABSTRACT

This work presents a reduced order modelling technique built on a high fidelity embedded mesh finite element method. Such methods, and in particular the CutFEM method, are attractive in the generation of projection-based reduced order models thanks to their capabilities to seamlessly handle large deformations of parametrized domains. The combination of embedded methods and reduced order models allows us to obtain fast evaluation of parametrized problems, avoiding remeshing as well as the reference domain formulation, often used in the reduced order modelling for boundary fitted finite element formulations. The resulting novel methodology is presented on linear elliptic and Stokes problems, together with several test cases to assess its capability. The role of a proper extension and transport of embedded solutions to a common background is analyzed in detail.

研究动机与目标

• 解决在复杂或动态变化几何形状下求解参数化PDE问题时的高计算成本挑战。
• 克服传统降模态模型依赖参考域公式化及几何变化时需重划网格的局限性。
• 实现对具有大变形和拓扑变化的参数化问题的高效求解。
• 开发一种无需在ROM中进行网格再生与映射变换的方法。
• 提升对对流主导型与边界控制型问题的降模态基空间逼近质量。

提出的方法

• 使用CutFEM作为高保真求解器，处理具有嵌入边界、参数化复杂的域。
• 对CutFEM求解生成的快照应用本征正交分解（POD）。
• 应用自然光滑延拓将嵌入域的解映射至统一的背景网格。
• 在背景网格上实施解的传输程序，以降低Kolmogorov n-宽度并加速基函数收敛。
• 通过Galerkin投影将POD基函数与上确界函数（supremizers）结合，构建降模态模型，以保证inf-sup稳定性。
• 所有操作均基于背景网格进行，实现离线-在线解耦，并避免依赖特定域的映射关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 CutFEM能否与基于投影的ROM有效结合，以在不重划网格的情况下处理大几何参数化变化？
• RQ2 在背景网格上实施解的传输相较于仅使用自然延拓，如何提升降模态基的逼近质量？
• RQ3 弱式施加的Dirichlet边界条件对ROM精度有何影响，尤其是在存在边界层效应的情况下？
• RQ4 延拓与传输的结合在多大程度上降低了Kolmogorov n-宽度并改善了降模态基的收敛性？
• RQ5 该方法能否在极小的基函数规模下，对椭圆型与Stokes问题均实现高精度？

主要发现

• 将自然光滑延拓与解的传输相结合，相较于仅使用自然延拓，相对误差几乎降低一个数量级，在仅使用N = 3个基函数的情况下，Stokes问题中速度与压力的误差可降至10⁻²量级。
• 对于椭圆型问题，即使基函数规模较小，该方法仍可实现10⁻⁴量级的相对误差，展现出极高的效率。
• 仅使用自然光滑延拓时，即使基函数数量增加至N = 50，压力的相对误差仍可达10⁻¹量级，速度误差达10⁻²量级，表明缺乏传输机制时逼近质量较差。
• 当基函数规模超过某一临界值后，误差降低趋于平台期，表明误差限制可能源于通过Nitsche方法弱式施加Dirichlet边界条件的不足。
• 高保真解与降模态解在速度场与压力场中表现出高度一致，相对误差主要集中在嵌入边界附近，尤其在压力场中更为明显。
• 所提方法避免了参考域映射与重划网格的需求，可高效求解具有大参数化变形的问题。