[论文解读] Projections in several complex variables

Chin-Yu Hsiao|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 25被引用 35

一句话总结

本论文建立了若干复变量中严格强伪凸域上$(0,q)$-形式的Bergman投影的完整渐近展开式，推广了Boutet de Monvel与Sjöstrand对$q=0$时的结果。通过使用Menikoff-Sjöstrand热方程方法与具有复相位函数的傅里叶积分算子，引入了一个类似于Kohn拉普拉斯算子的新边界算子，并利用Poisson算子将边界投影与内部投影联系起来，从而推导出该展开式。

ABSTRACT

This work consists two parts. In the first part, we completely study the heat equation method of Menikoff-Sjostrand and apply it to the Kohn Laplacian defined on a compact orientable connected CR manifold. We then get the full asymptotic expansion of the Szego projection for (0,q) forms when the Levi formis nondegenerate. This generalizes a result of Boutet de Monvel and Sjostrand for (0,0) forms. Our main tool is Fourier integral operators with complex valued phase functions of Melin and Sjostrand. In the second part, we obtain the full asymptotic expansion of the Bergman projection for (0,q) forms when the Levi form is non-degenerate. This also generalizes a result of Boutet de Monvel and Sjostrand for (0,0) forms. We introduce a new operator analogous to the Kohn Laplacian defined on the boundary of a domain and we apply the heat equation method of Menikoff and Sjostrand to this operator. We obtain a description of a new Szego projection up to smoothing operators. Finally, by using the Poisson operator, we get our main result.

研究动机与目标

• 将Boutet de Monvel与Sjöstrand对$(0,0)$-形式的Szegö与Bergman投影渐近展开结果，推广至严格强伪凸域上的$(0,q)$-形式。
• 解决Hörmander关于当Levi形式非退化时，$(0,q)$-形式Bergman投影渐近行为的开放性问题。
• 构造一个类似于Kohn拉普拉斯算子的新边界算子，使Menikoff-Sjöstrand热方程方法可应用于边界Szegö投影。
• 利用微局部分析与Poisson算子，建立$(0,q)$-形式Bergman核的完整渐近展开式。

提出的方法

• 将Menikoff-Sjöstrand热方程方法应用于具有非退化Levi形式的紧致、定向、连通CR流形上的Kohn拉普拉斯算子。
• 利用Melin与Sjöstrand发展的具有复值相位函数的傅里叶积分算子，分析热核的谱与奇异行为。
• 在区域边界上引入一个新算子，其作用类似于Kohn拉普拉斯算子，用于建模Bergman投影的边界行为。
• 通过将热方程方法应用于该新边界算子，构造出一个至多含光滑误差项的新Szegö投影。
• 利用Poisson算子将边界Szegö投影提升至内部，从而获得Bergman投影的完整渐近展开式。
• 借助符号类$S^m_{1,0}$与波前集理论，控制微局部奇异性，确保渐近展开式的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Levi形式非退化时，是否可以建立$(0,q)$-形式Bergman投影的完整渐近展开式，从而推广已知的$q=0$情形结果？
• RQ2 在Bergman投影背景下，应引入何种类似于Kohn拉普拉斯算子的恰当边界算子，以使Menikoff-Sjöstrand方法得以应用？
• RQ3 在$(0,q)$-形式情形下，如何利用Poisson算子将边界Szegö投影与内部Bergman投影联系起来？
• RQ4 复相位傅里叶积分算子在解析高阶$q$情形下Szegö与Bergman核的微局部结构中起到何种作用？
• RQ5 Hörmander所提出的建议——若沿Boutet de Monvel-Sjöstrand的路线进行细致的微局部分析，应能获得$(0,q)$-形式Bergman投影的渐近展开式——是否成立？

主要发现

• 当Levi形式非退化时，获得了$(0,q)$-形式Szegö投影的完整渐近展开式，将Boutet de Monvel与Sjöstrand对$q=0$的结果推广至所有$q$。
• 明确计算了Szegö投影的首项，提供了对角线上奇异性精确的微局部描述。
• 引入了一个类似于Kohn拉普拉斯算子的新边界算子，并通过Menikoff-Sjöstrand热方程方法对其进行分析，得到了模光滑算子的边界Szegö投影描述。
• 利用Poisson算子将边界Szegö投影提升至内部，从而得到$(0,q)$-形式Bergman投影的完整渐近展开式。
• 该方法依赖于复相位傅里叶积分算子与$S^m_{1,0}$中的符号演算，确保了渐近展开式所必需的微局部控制。
• 结果证实了Hörmander的猜想：在非退化Levi形式条件下，细致的微局部分析应能导出$(0,q)$-形式Bergman投影的渐近展开式。