[论文解读] Projective and injective objects in symmetric categorical groups

Teimuraz Pirashvili|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过利用对称范畴群的同伦范畴的上同调描述，证明了对称范畴群的2-范畴具有足够的投射与内射对象。通过类型函子映射到阿贝尔群，并利用自由与可除阿贝尔群构造提升，作者证明了投射与内射对象的存在性，进而推广至任意范畴环上的范畴模。

ABSTRACT

We prove that the 2-category of symmetric categorical groups have enough projective and injective objects. This was conjectured by Bourn and Vitale in 2002 and was anounced recently by Fang Huang, Shao-Han Chen, Wei Chen and Zhu-Jun Zheng in arXiv:1006.4677 with wrong proof.

研究动机与目标

• 解决文献[1]中的一个猜想，即对称范畴群的阿贝尔2-范畴具有足够的投射对象。
• 为对称范畴群中投射与内射对象的存在性提供正确且原创的证明，纠正文献[3]中的错误证明。
• 通过基变换与对偶性，将结果推广至任意范畴环上的范畴模。
• 建立对称范畴群的2-范畴与特定范畴环上右范畴模的2-范畴之间的2-等价。

提出的方法

• 利用类型函子 $\mathrm{type}: \mathbf{Ho} \to \mathfrak{Types} $，将对称范畴群映射到三元组 $ (A_0, A_1, \alpha) $，其中 $ A_0 = \pi_0(S), A_1 = \pi_1(S), \alpha \in \hom(A_0/2A_0, A_1) $。
• 应用文献[8]中的上同调描述，证明 $ \pi_0(\mathbf{Hom}(S_1, S_2)) $ 适合于一个短正合列，涉及 $ \mathop{\sf Ext}(\pi_0(S_1), \pi_1(S_2)) $ 与 $ \mathfrak{Types}(\mathrm{type}(S_1), \mathrm{type}(S_2)) $。
• 对每个 $ \mathbb{A} \in \mathfrak{Types} $ 构造一个对称范畴群 $ H(\mathbb{A}) $，使得 $ \mathrm{type}(H(\mathbb{A})) = \mathbb{A} $，利用存在性与唯一性（模等价）。
• 使用自由阿贝尔群 $ P $ 将满射 $ f_0: P \to \pi_0(S) $ 提升至 $ \mathfrak{Types} $ 中的态射，再进一步提升至对称范畴群，以构造投射对象。
• 使用可除阿贝尔群 $ Q $ 将单射 $ g_1: \pi_1(S) \to Q $ 提升，通过同构 $ \pi_1(\mathbf{Hom}(S_1, S_2)) \cong \hom(\pi_0(S_1), \pi_1(S_2)) $ 确保内射对象的存在。
• 应用2-伴随与Yoneda引理，证明任意范畴环 $ \mathbb{R} $ 上的范畴右 $ \mathbb{R} $-模范畴具有足够的投射与内射对象。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称范畴群的2-范畴是否具有足够的投射对象？
• RQ2 对称范畴群的2-范畴是否具有足够的内射对象？
• RQ3 对称范畴群中投射与内射对象的存在性能否推广至任意范畴环上的范畴模？
• RQ4 是否存在对称范畴群的2-范畴与特定范畴环上右范畴模的2-范畴之间的2-等价？

主要发现

• 对称范畴群的2-范畴具有足够的投射对象，其构造基于从自由阿贝尔群到类型范畴的满射的提升。
• 对称范畴群的2-范畴具有足够的内射对象，其构造基于到可除阿贝尔群的单射的提升。
• 对称范畴群中足够多的投射与内射对象的存在性，源于文献[8]中建立的 $ \pi_0(\mathbf{Hom}(S_1, S_2)) $ 与 $ \pi_1(\mathbf{Hom}(S_1, S_2)) $ 的上同调描述。
• 任意范畴环 $ \mathbb{R} $ 上的范畴右 $ \mathbb{R} $-模的2-范畴具有足够的投射与内射对象，通过基变换与2-伴随实现。
• 对称范畴群 $ \mathbb{H} $，其对象为 $ \mathbb{Z} $，每个对象的自同构群为 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $，且交换性同构由 $ \epsilon_{n+m} $ 给出，是一个小的投射生成元。
• 通过对称范畴群的2-范畴与范畴环 $ \mathbf{Hom}(\mathbb{H}, \mathbb{H}) $ 上右范畴模的2-范畴之间，通过Yoneda嵌入与2-伴随建立2-等价。