[论文解读] Projective corepresentations and cohomology of compact quantum groups

Debashish Goswami, Kiran Maity|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2026

Advanced Operator Algebra Research被引用 0

一句话总结

该论文发展紧致量子群的投影单位核表示理论，引入将投影核表示提升到更大量子群的包络构造，将强投影核表示与第二不变量上同调联系起来，并将通过规范化离散群Gamma_Q的概念定义为第二群同调的普通化推广。

ABSTRACT

We study projective unitary (co)representations of compact quantum groups and the associated second cohomology theory. We introduce left/right/bi/strongly projective corepresentations and study them in details. In particular, we prove that given any compact quantum group $\q$, there are compact quantum groups $ ilde{\q_l}, ilde{\q_r}, { ilde \q}_{bi}, { ilde \q}_{stp}$, each of which contains $\q$ as a Woronowicz subalgebra and every left/right/bi/strongly projective unitary corepresentation of $\q$ lifts to a linear corepresentation of these quantum groups respectively. We observe that the strongly projective corepresentations are associated with the second invariant ($S^1$-valued) cohomology $H^2_{uinv}(\cdot)$ of the quantum group. We define a suitable analogue of normalizer of a compact quantum group in a bigger compact quantum group and using this, associate a canonical discrete group $Γ_\q$ to a compact quantum group $\q$ which is an alternative generalization of the second group cohomology and we show by an example that $Γ_\q$ in general may be different from $H^2_{uinv}(\q,S^1) $.

研究动机与目标

• 将经典的投影表示理论扩展到紧致量子群的动机与目标
• 在量子群环境中引入左、右、双和强投影核表示
• 证明紧致量子群Q的任意左/右/双投影核表示均可提升为更大包络量子群的核表示
• 将强投影核表示与量子群的第二不变量同调H^2_uinv(Q,S^1)联系起来
• 通过量子正规化构造定义离散不变量Gamma_Q，并将其与H^2_uinv(Q,S^1)进行比较

提出的方法

• 定义左、右、双及强投影核表示及其余 cocycle
• 构造包含Q作为Woronowicz子代数的包络紧致量子群 Q_l, Q_r, Q_bi, Q_stp
• 证明Q的任意左/右/双投影核表示可提升为包络量子群的线性核表示
• 建立强投影核表示与第二不变量同调H^2_uinv(Q,S^1)的关系
• 在更大量子群中引入正规化类比并定义规范离散群Gamma_Q
• 给出示例表明Gamma_Q可能与H^2_uinv(Q,S^1)不同
• 讨论对物理的潜在应用，特别是对对称性保护的拓扑相的影响

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将紧致量子群的投影核表示提升为更大量子群的线性核表示？
• RQ2 强投影核表示与第二不变量同调H^2_uinv(Q,S^1)之间的关系是什么？
• RQ3 是否可以定义一个 canonical 离散群 Gamma_Q，通过量子正规化概念推广第二群同调？
• RQ4 包络构造是否依赖于左、右、双或强投影性，它们的结构特性是什么？
• RQ5 这些概念在物理学，尤其是对称性保护的拓扑相中有什么应用前景？

主要发现

• 存在包含Q的包络紧致量子群，使得Q的任意左/右/双投影核表示可提升为包络群的核表示
• 强投影核表示对应第二不变量同调H^2_uinv(Q,S^1)
• 通过量子正规化构造，存在与Q相关的规范离散群Gamma_Q，作为对第二群同调的替代性推广
• 通常Gamma_Q可能不同于H^2_uinv(Q,S^1)
• 结果指向在物理学中的应用潜力，特别是在拓扑相与对称性方面
• 该框架将投影核表示与扭曲的Peter–Weyl理论及扭曲的Schur正交关系联系起来