[论文解读] Projective divisible binary codes

Daniel Heinlein, Thomas Honold+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 15

一句话总结

本文研究了射影 $2^r$-可除二元线性码的存在性与分类，这些码源自射影几何中的部分 $r$-划。本文建立了此类码与 $\mathrm{PG}(k-1,\mathbb{F}_2)$ 中点集之间的对应关系，提供了显式构造方法，并证明当 $r \leq 3$ 时，所有长度 $n \leq 48$ 的此类码均已分类，其中新发现的示例包括一个唯一的 $[45,8]$ 两权重码，其权重为 16 和 24。

ABSTRACT

For which positive integers $n,k,r$ does there exist a linear $[n,k]$ code $C$ over $\mathbb{F}_q$ with all codeword weights divisible by $q^r$ and such that the columns of a generating matrix of $C$ are projectively distinct? The motivation for studying this problem comes from the theory of partial spreads, or subspace codes with the highest possible minimum distance, since the set of holes of a partial spread of $r$-flats in $\operatorname{PG}(v-1,\mathbb{F}_q)$ corresponds to a $q^r$-divisible code with $k\leq v$. In this paper we provide an introduction to this problem and report on new results for $q=2$.

研究动机与目标

• 确定在哪些参数 $n,k,r$ 下存在射影 $2^r$-可除二元 $[n,k]$ 码。
• 通过部分 $r$-划的孔构造法，在此类码与 $\mathrm{PG}(k-1,\mathbb{F}_2)$ 中的点集之间建立几何对应关系。
• 对 $r \leq 3$ 且 $n \leq 48$ 的所有射影 $2^r$-可除二元码进行分类，包括新发现的两权重码。
• 利用平面、并集和广义锥等几何对象，提供此类码的显式构造方法。
• 通过将可除码与最大部分 $r$-划联系起来，解决子空间编码中的开放问题。

提出的方法

• 通过生成矩阵将线性码映射到 $\mathrm{PG}(k-1,\mathbb{F}_2)$ 中的点多重集，保持权重和可除性性质。
• 使用孔构造法：在 $\mathrm{PG}(v-1,\mathbb{F}_2)$ 中部分 $r$-划未被覆盖的点集对应于一个 $2^r$-可除码。
• 应用码权重与超平面重数之间的对偶性：$\mathrm{w}(\mathbf{c}) = n - \mathfrak{K}_C(\mathbf{a}^\perp)$，以确保 $2^r$-可除性。
• 通过不相交的射影或仿射 $r$-平面的并集，以及具有公共顶点的广义锥构造法来构建码。
• 利用计算工具（SageMath）和数据库查询，对双重偶码和三重偶码的已知分类进行利用。
• 利用 $\mathrm{d}(C^\perp) \geq 3$ 条件以确保项目性（即列在射影意义下互不相同）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些整数 $n,k,r$，存在射影 $2^r$-可除二元 $[n,k]$ 码？
• RQ2 当 $r \leq 3$ 且 $n \leq 48$ 时，此类码的完整分类是什么？
• RQ3 是否存在不来自平面并集或广义锥构造的 $2^r$-可除码？
• RQ4 能否通过如射影基及其连线等几何构型构造新的两权重码？
• RQ5 在部分 $r$-划及其孔的背景下，参数 $n,k$ 与环境维数 $v$ 之间有何关系？

主要发现

• 所有满足 $r \leq 3$ 且 $n \leq 48$ 的射影 $2^r$-可除二元 $[n,k]$ 码均已完全分类，每个 $n,k$ 组合的计数均已提供。
• 当 $n=45$，$k=8$ 时，存在唯一一个 $[45,8]$ 两权重码，其权重为 16 和 24，该码对应于 $\mathrm{PG}(7,\mathbb{F}_2)$ 中一个射影基及其所有点之间的连线。
• 当 $n=31$，$k=5$ 时，存在六个不同的码，其中包括一个 $[31,5]$ 两权重码，其权重为 16 和 24。
• 将 $[48,12]$ 码构造为两个仿射 $(r+1)$-平面的不相交并集时，当 $r=3$ 且 $k=2r+4=12$ 时，该构造产生唯一一种类型。
• 当 $n=2^{r+2}-2$ 时，在 $k=2r+2$ 维空间中将两个射影 $r$-平面并集构造，可得到一个 $2^r$-可除码。
• 通过使用八个通过共同 $(r-2)$-平面 $V$ 的 $r$-平面，其像构成一个射影基，可构造出一个 $[2^{r+2}, r+6]$ 码，其中 $k=r+6$。