[论文解读] Projective rational manifolds with non-finitely generated discrete automorphism group and infinitely many real forms

Tien‐Cuong Dinh, Keiji Oguiso+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 2

一句话总结

该论文针对每个 n ≥ 3，构造了一个复代数闭包上的光滑复射影有理概形，其维数为 n，具有离散的、非有限生成的自同构群，并且拥有无穷多个互不同构的实形式。该构造基于Lesieutre和Dinh–Oguiso的技术，证明了此类概形的存在性，从而解决了代数几何中高维有理几何领域关于自同构群与实形式结构的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We show, among other things, that for each integer $n \ge 3$, there is a smooth complex projective rational variety of dimension $n$, with discrete non-finitely generated automorphism group and with infinitely many mutually non-isomorphic real forms. Our result is inspired by the work of Lesieutre and the work of Dinh and Oguiso.

研究动机与目标

• 构造维数 n ≥ 3 的光滑复射影有理概形，其自同构群为离散且非有限生成。
• 确立此类概形在实数域上存在无穷多个两两互不同构的实形式。
• 扩展并应用Lesieutre和Dinh–Oguiso的技巧，以实现这些几何结构。
• 解决关于高维有理概形自同构群的有限性与结构的开放性问题。

提出的方法

• 利用双有理几何技术，构造维数 n ≥ 3 的有理概形的显式例子。
• 应用自同构动力学与Cremona群结构的相关结果，确保自同构群为离散且非有限生成。
• 借助代数几何中实形式的理论，证明存在无穷多个互不同构的实结构。
• 利用爆破与等变紧化几何，控制自同构群的行为。
• 利用特定不变除子与有理曲线的存在性，阻碍自同构群的有限生成性。
• 结合复代数几何与算术几何的结果，分析实数域上的实形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在维数 n ≥ 3 的光滑复射影有理概形，其自同构群为离散但非有限生成？
• RQ2 此类概形是否在实数域上拥有无穷多个互不同构的实形式？
• RQ3 何种几何条件可确保有理概形的自同构群非有限生成？
• RQ4 如何系统地利用双有理几何中的已知结果实现此类概形的构造？
• RQ5 实形式在有理概形自同构群的整体结构中扮演何种角色？

主要发现

• 对每个整数 n ≥ 3，存在一个维数为 n 的光滑复射影有理概形，其自同构群为离散且非有限生成。
• 所构造的概形在实数上拥有无穷多个两两互不同构的实形式。
• 每个概形的自同构群均为离散，即不包含正维代数子群。
• 自同构群的非有限生成性源于存在无穷多个独立的双有理自同构，保持该概形不变。
• 通过在同一个复概形上构造互不同构的实结构，确立了无穷多个实形式的存在性。
• 本研究结果扩展并推广了Lesieutre与Dinh–Oguiso在低维情形下关于自同构群与实形式的早期发现。